Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2195
2019-03-17 
Из внешней точки $A$ проведены две взаимно перпендикулярные секущие $ABD$ и $ACE$ к кругу с центром $O$. Площади треугольников $ABC$ и $ADE$ относятся, как $m : n$. Определить величины дуг $BC$ и $DE$, каждая из которых меньше полуокружности.
Решение:
Запишем отношение площадей данных прямоугольных треугольников (рис.):
$\frac {S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac {AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac {n}{m}$.
Kроме того, $AD \cdot AB = AE \cdot AC$. Найдем отсюда $AD$ и подставим в предыдущее равенство; получим
$\frac {{AE}^2}{{AE}^2} = \frac {n}{m}$.
Обозначим углы $ADC$ и $AEB$, опирающиеся па дугу $BC$, через $\phi$:
$tg \phi = \frac {AB}{AE} = \sqrt {m/n}$.
Следовательно, дуга $BC$ равна $2arctg \sqrt{m/n}$.
Угол $A$ прямой и измеряется полуразностью высекаемых им на окружности дуг $(2\pi - \cup DE)$ и $BC$:
$\pi/2 = \frac {(2\pi - \cup DE) - \cup BC}{2}$, т.е. $\pi/2 = 1/2 (\cup DE + \cup BC)$.
Отсюда найдем величину дуги $DE$, которая равна
$\pi - 2 arctg \sqrt{m/n} = 2 (\pi/2 - arctg \sqrt{m/n}) = 2 arctg \sqrt {m/n}$.
Ответ. $2arctg \sqrt{m/n}, 2arcctg \sqrt{m/n}$.
Из внешней точки $A$ проведены две взаимно перпендикулярные секущие $ABD$ и $ACE$ к кругу с центром $O$. Площади треугольников $ABC$ и $ADE$ относятся, как $m : n$. Определить величины дуг $BC$ и $DE$, каждая из которых меньше полуокружности.
Решение:
Запишем отношение площадей данных прямоугольных треугольников (рис.):
$\frac {S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac {AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac {n}{m}$.
Kроме того, $AD \cdot AB = AE \cdot AC$. Найдем отсюда $AD$ и подставим в предыдущее равенство; получим
$\frac {{AE}^2}{{AE}^2} = \frac {n}{m}$.
Обозначим углы $ADC$ и $AEB$, опирающиеся па дугу $BC$, через $\phi$:
$tg \phi = \frac {AB}{AE} = \sqrt {m/n}$.
Следовательно, дуга $BC$ равна $2arctg \sqrt{m/n}$.
Угол $A$ прямой и измеряется полуразностью высекаемых им на окружности дуг $(2\pi - \cup DE)$ и $BC$:
$\pi/2 = \frac {(2\pi - \cup DE) - \cup BC}{2}$, т.е. $\pi/2 = 1/2 (\cup DE + \cup BC)$.
Отсюда найдем величину дуги $DE$, которая равна
$\pi - 2 arctg \sqrt{m/n} = 2 (\pi/2 - arctg \sqrt{m/n}) = 2 arctg \sqrt {m/n}$.
Ответ. $2arctg \sqrt{m/n}, 2arcctg \sqrt{m/n}$.
