Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2193
2019-03-17 
Два правильных многоугольника с периметрами $а$ и $b$ описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют каждый вдвое больше сторон, чем первый. Найти периметр третьего многоугольника.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, $n$ - число сторон первого многоугольника, $x$ - периметр третьего.
Периметры первого и второго многоугольников равны соответственно
$a = 2n R tg \frac{\pi}{n} = 4nR \frac{tg \frac{\pi}{2n}}{1 - tg^2 \frac{\pi}{2n}}, b = 4nR tg \frac{\pi}{2n}$.
Периметр третьего равен
$x = 4nR \sin \frac{\pi}{2n} = 4n R \frac {tg \frac{ \pi}{2n}}{\sqrt {1 + tg^2 \frac{\pi}{2n}}}$.
Сравнивая первые два выражения, найдем, что $1 - tg^2 \pi/2n = b/a$.
Следовательно, $1 + tg^2 \pi/2n = \frac {2a-b}{a}$ и $x = b \sqrt{\frac {a}{2a-b}}$.
Ответ. $b \sqrt{\frac {a}{2a-b}}$.
Два правильных многоугольника с периметрами $а$ и $b$ описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют каждый вдвое больше сторон, чем первый. Найти периметр третьего многоугольника.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, $n$ - число сторон первого многоугольника, $x$ - периметр третьего.
Периметры первого и второго многоугольников равны соответственно
$a = 2n R tg \frac{\pi}{n} = 4nR \frac{tg \frac{\pi}{2n}}{1 - tg^2 \frac{\pi}{2n}}, b = 4nR tg \frac{\pi}{2n}$.
Периметр третьего равен
$x = 4nR \sin \frac{\pi}{2n} = 4n R \frac {tg \frac{ \pi}{2n}}{\sqrt {1 + tg^2 \frac{\pi}{2n}}}$.
Сравнивая первые два выражения, найдем, что $1 - tg^2 \pi/2n = b/a$.
Следовательно, $1 + tg^2 \pi/2n = \frac {2a-b}{a}$ и $x = b \sqrt{\frac {a}{2a-b}}$.
Ответ. $b \sqrt{\frac {a}{2a-b}}$.
