Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2189
2019-03-17 
Через центр квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая сторону $AB$ в точке $N$, причем $AN:NB - 1:2$. На этой прямой взята произвольная точка $M$, лежащая внутри квадрата. Доказать, что расстояния от точки $M$ до сторон квадрата $AB, AD, BC$ и $CD$, взятые в названном порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Решение:
Пусть $AB = a, MR = x$ (рис.). Выразим через $a$ и $x$ длины отрезков $MQ, MS$ и $MP$.
Ясно, что для этого достаточно найти длину отрезка $QM$, поскольку $MS = a - QM$,a $MP = a - x$. Так как $QM = CR = CK + KR$, то вычислим $CK$ и $KR$. По условию $AN = a/3$, а потому (треугольники $OLN$ и $OL_1K$ равны) $CK = a/3$. Чтобы найти $KR$, рассмотрим подобные треугольники $MKR$ и $NKN_1$:
$\frac {MR}{NN_1} = \frac {KR}{KN_1}$, т.е. $\frac {x}{a} = \frac {KR}{a/3}$,
откуда $KR = \frac{x}{3}$, a $QM = \frac{a}{3} + \frac{x}{3}$. Остается убедиться в том, что числа $a - x, \frac {2a-x}{3}, x$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $\frac {2x-a}{3}$.
Через центр квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая сторону $AB$ в точке $N$, причем $AN:NB - 1:2$. На этой прямой взята произвольная точка $M$, лежащая внутри квадрата. Доказать, что расстояния от точки $M$ до сторон квадрата $AB, AD, BC$ и $CD$, взятые в названном порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Решение:
Пусть $AB = a, MR = x$ (рис.). Выразим через $a$ и $x$ длины отрезков $MQ, MS$ и $MP$.
Ясно, что для этого достаточно найти длину отрезка $QM$, поскольку $MS = a - QM$,a $MP = a - x$. Так как $QM = CR = CK + KR$, то вычислим $CK$ и $KR$. По условию $AN = a/3$, а потому (треугольники $OLN$ и $OL_1K$ равны) $CK = a/3$. Чтобы найти $KR$, рассмотрим подобные треугольники $MKR$ и $NKN_1$:
$\frac {MR}{NN_1} = \frac {KR}{KN_1}$, т.е. $\frac {x}{a} = \frac {KR}{a/3}$,
откуда $KR = \frac{x}{3}$, a $QM = \frac{a}{3} + \frac{x}{3}$. Остается убедиться в том, что числа $a - x, \frac {2a-x}{3}, x$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $\frac {2x-a}{3}$.
