Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2188
2019-03-17 
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Найти сумму углов при большем основании трапеции.
Решение:
Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ (рис.) до пересечения в точке $S$. Если через $S$ и $M$ (где $M$ - середина $BC$) провести прямую, то она пересечет $AD$ в точке $N$, которая является серединой $AD$.
Из подобия треугольников $BSM$ и $ASN$ имеем
$\frac {AN}{BM} = \frac {SN}{SM}$,
откуда
$\frac {AN - BM}{BM} = \frac {SN - SM}{SM}$, т.е. $\frac {AN - BM}{BM} = \frac {MN}{SM}$.
Так как по условию $MN = AN - BM$, то $BM = SM$ и треугольник $SMB$ равнобедренный. То же самое можно сказать и о треугольнике $SMC$. Следовательно, угол $SMC$ равен удвоенному углу $A$, а угол $SMB$ - удвоенному углу $D$ (по свойству внешнего угла треугольника). Но оба эти угла $SMB$ и $SMC$ образуют развернутый угол. Следовательно, сумма углов $A$ и $D$ равна $90^{\circ}$.
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Найти сумму углов при большем основании трапеции.
Решение:
Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ (рис.) до пересечения в точке $S$. Если через $S$ и $M$ (где $M$ - середина $BC$) провести прямую, то она пересечет $AD$ в точке $N$, которая является серединой $AD$.
Из подобия треугольников $BSM$ и $ASN$ имеем
$\frac {AN}{BM} = \frac {SN}{SM}$,
откуда
$\frac {AN - BM}{BM} = \frac {SN - SM}{SM}$, т.е. $\frac {AN - BM}{BM} = \frac {MN}{SM}$.
Так как по условию $MN = AN - BM$, то $BM = SM$ и треугольник $SMB$ равнобедренный. То же самое можно сказать и о треугольнике $SMC$. Следовательно, угол $SMC$ равен удвоенному углу $A$, а угол $SMB$ - удвоенному углу $D$ (по свойству внешнего угла треугольника). Но оба эти угла $SMB$ и $SMC$ образуют развернутый угол. Следовательно, сумма углов $A$ и $D$ равна $90^{\circ}$.
