ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-17   
Доказать, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).


Решение:



Пусть $R$ - радиус окружности, а $\alpha, \beta и \gamma$ - вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны $AB, BC$ и $AD$ (рис.). Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, что отмечено на рисунке. Углы $DBC$ и $DAC$ тоже равны, и их нетрудно вычислить: $\pi - (\alpha + \beta +\gamma)$. По теореме синусов

$AB = 2R \sin \alpha$,
$BC = 2R \sin \beta$,
$DC = 2R \sin (\alpha + \beta + \gamma)$,
$AD = 2R sin \gamma$.

Таким образом

$AB \cdot DC + AD \cdot BC = 4R^2 [\sin \alpha \sin (\alpha + \beta + \gamma) + \sin \beta \sin \gamma] = 2R^2[\cos(\beta + \gamma)- \cos(2\alpha +\beta + \gamma)+ \cos(\beta -\gamma) - \cos (\gamma + \beta)] = 2R^2 [\cos (\beta - \gamma) - \cos (2\alpha + \beta + \gamma)]$.

Так как

$AC=2R \sin (\alpha + \beta), BD = 2R \sin (\alpha + \gamma)$,

то

$AC \cdot BD = 4R^2 \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha + \gamma) = 2R^2 [\cos (\beta - \gamma) - \cos (2\alpha + \beta + \gamma)]$.

Итак,

$AB \cdot DC + AD \cdot BC = AC \cdot BD$.