Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2186
2019-03-17 
B треугольнике $ABC$ единичной площади проведен отрезок $AD$, пересекающий медиану $CF$ в точке $M$, причем $FM = \frac{1}{4} CF$. Найти площадь треугольника $ABD$.
Решение:
Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма так, чтобы сторона $AB$ была диагональю параллелограмма (рис.). Проведем $BD_1 \parallel AD$ и обозначим на чертеже точку $M_1$
Треугольники $MDC$ и $M_1BC$ подобны. Так как $MF = 1/4 CF$, то $MC : MM_1 = 3:2$. Следовательно, $MD:M_1B = 3:5$. Так как $M_1B = AM$, то $AM : MD = 5:3$.
Площадь треугольника $AFM$ в восемь раз меньше площади треугольника $ABC$, т. е. равна 1/8. Высота треугольника $AFM$ ($F$ - середина $AB$), опущенная из вершины $F$, в два раза меньше высоты треугольника $ABD$, опущенной из вершины $B$. Так как $AM:AD - 5:8$, то площадь треугольника $AFM$ относится к площади треугольника $ABD$, как 5 относится к $2 \cdot 8$, т. е. как 5:16.
Зная, что площадь треугольника $AFM$ равна 1/8, можно теперь найти и площадь треугольника $ABD$.
Ответ. 2/5.
B треугольнике $ABC$ единичной площади проведен отрезок $AD$, пересекающий медиану $CF$ в точке $M$, причем $FM = \frac{1}{4} CF$. Найти площадь треугольника $ABD$.
Решение:
Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма так, чтобы сторона $AB$ была диагональю параллелограмма (рис.). Проведем $BD_1 \parallel AD$ и обозначим на чертеже точку $M_1$
Треугольники $MDC$ и $M_1BC$ подобны. Так как $MF = 1/4 CF$, то $MC : MM_1 = 3:2$. Следовательно, $MD:M_1B = 3:5$. Так как $M_1B = AM$, то $AM : MD = 5:3$.
Площадь треугольника $AFM$ в восемь раз меньше площади треугольника $ABC$, т. е. равна 1/8. Высота треугольника $AFM$ ($F$ - середина $AB$), опущенная из вершины $F$, в два раза меньше высоты треугольника $ABD$, опущенной из вершины $B$. Так как $AM:AD - 5:8$, то площадь треугольника $AFM$ относится к площади треугольника $ABD$, как 5 относится к $2 \cdot 8$, т. е. как 5:16.
Зная, что площадь треугольника $AFM$ равна 1/8, можно теперь найти и площадь треугольника $ABD$.
Ответ. 2/5.
