Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2184
2019-03-17 
Площадь $S$ треугольника $ABC$ удовлетворяет соотношению $S = a^2 - (b-с)^2$. Найти угол $A$.
Решение:
По условию $S = a^2 - b^2 - с^2 + 2bc$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} bc \sin A$. Сравнивая эти выражения, получим $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc = \frac{1}{2} bc \sin A$.
Воспользуемся теоремой косинусов и заменим $а^2$ на $b^2 + с^2 - 2bс \cos A$. После приведения подобных и сокращения на $bс$ останется тригонометрическое уравнение
$\frac{1}{2} \sin A = - 2 \cos A + 2$,
которое можно переписать так:
$\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$.
Так как $A$ - угол треугольника, то $\frac{A}{2}$ лежит в первой четверти и $\sin \frac{A}{2} \neq 0$.
Наше уравнение принимает вид $tg \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ. $A = arctg \frac{1}{4}$.
Площадь $S$ треугольника $ABC$ удовлетворяет соотношению $S = a^2 - (b-с)^2$. Найти угол $A$.
Решение:
По условию $S = a^2 - b^2 - с^2 + 2bc$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} bc \sin A$. Сравнивая эти выражения, получим $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc = \frac{1}{2} bc \sin A$.
Воспользуемся теоремой косинусов и заменим $а^2$ на $b^2 + с^2 - 2bс \cos A$. После приведения подобных и сокращения на $bс$ останется тригонометрическое уравнение
$\frac{1}{2} \sin A = - 2 \cos A + 2$,
которое можно переписать так:
$\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$.
Так как $A$ - угол треугольника, то $\frac{A}{2}$ лежит в первой четверти и $\sin \frac{A}{2} \neq 0$.
Наше уравнение принимает вид $tg \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ. $A = arctg \frac{1}{4}$.
