Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2183
2019-03-17 
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Доказать, что если $OA^2 = OB \cdot OC$, то $\cos \frac{B - C}{2} = 2 \sin ^2 \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}$.
Решение:
Центр $O$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому
$AO = \frac {r}{\sin A/2}, BO = \frac {r}{\sin B/2}, CO = \frac {r}{\sin C/2}$.
Подставляя в данное соотношение ${OA}^2 = OB \cdot OC$, получим
$\sin^2 \frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
Применив к правой части формулу преобразования произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду
$2 \sin^2 \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2} - \cos \frac{B+C}{2}$.
Заметив, что $B+C = \pi - A$, получим
$\cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin^2 \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}$, что и требовалось доказать.
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Доказать, что если $OA^2 = OB \cdot OC$, то $\cos \frac{B - C}{2} = 2 \sin ^2 \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}$.
Решение:
Центр $O$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому
$AO = \frac {r}{\sin A/2}, BO = \frac {r}{\sin B/2}, CO = \frac {r}{\sin C/2}$.
Подставляя в данное соотношение ${OA}^2 = OB \cdot OC$, получим
$\sin^2 \frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
Применив к правой части формулу преобразования произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду
$2 \sin^2 \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2} - \cos \frac{B+C}{2}$.
Заметив, что $B+C = \pi - A$, получим
$\cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin^2 \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}$, что и требовалось доказать.
