ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-17   
Стороны треугольника связаны соотношением $a^2 = c(b + c)$. Доказать, что угол $A$ вдвое больше угла $C$.


Решение:


По теореме косинусов и в силу равенства $a^2 = c(b+c)$ получим

$b^2 + c^2 - 2bc \cos A = c(b+c)$

откуда

$\cos A = \frac {b-c}{2c}$.

Данное в условии равенство можно записать так: $c^2 - a^2 - bc$, и сравнить его с теоремой косинусов для угла $C$. Получим

$\cos C = \frac {b+c}{2a}$.

Нам нужно доказать, что угол $А$ вдвое больше угла $C$. Вычислим для этого $\cos 2C$ и сравним с $\cos A$:

$\cos 2C = 2cos^2 C - l = 2 \frac {c^2 + b^2 + 2bc}{4a^2} - 1 = \frac {c^2 + b^2 + 2bc - 2a^2}{2a^2}$.

В выражение для $\cos A$, которое мы получили раньше, сторона $a$ не входит. Поэтому заменим в правой части полученной формулы $a^2$ на $bc + c^2$. Получим

$\cos 2C = \frac {b^2 - c^2}{2c (b+c)} = \frac {b-c}{2c}$,

т.е. $\cos A = \cos 2C$. Так как $\cos C = \frac {b+c}{2a} > 0$, то угол $C$ острый. Углы $A$ и $2C$ лежат между $0$ и $\pi$, т. е. в интервале монотонности косинуса. Таким образом, из равенства косинусов следует равенство углов

$A = 2C$.