Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2181
2019-03-17 
Bокруг треугольника $ABC$, в котором $а = 2, b = 3$ и угол $C = 60^{\circ}$, описана окружность. Определить радиусы окружностей, проходящих через две вершины треугольника и центр описанной окружности.
Решение:
По теореме косинусов
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 7$,
откуда $c = \sqrt{7}$.
По теореме синусов
$R = \frac {c}{2 \sin C} = \sqrt {7/3}$.
Угол $AOB$ (рис.) центральный, а угол $ACB$ вписанный. У них общая дуга, т.е. угол $AOB$ равен $120^{\circ}$.
Применим теперь теорему синусов к треугольнику $AOB$:
$R_{AOB} = \frac {с}{2 \sin 120^{\circ}} = \sqrt {7/3}$.
Оставшиеся величины $R_{AOC} и R_{BOC}$ можно найти по формуле
$R = \frac {abc}{4S}$.
Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки $O$:
${OE}^2 = R^2 - \left ( \frac{b}{2} \right )^2 = \frac{7}{3} - \frac{9}{4} = \frac{1}{12}, OE = \frac {1}{\sqrt {12}}$;
${OD}^2 = R^2 - \left ( \frac{a}{2} \right )^2 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}, OD = \frac {2}{ \sqrt {3}}$.
Таким образом, площади треугольников $AOC$ и $BOC$ равны $\frac {3}{2 \sqrt{12}}$ и $\frac {32}{\sqrt{3}}$ соответственно, а радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны $\frac {7}{\sqrt{3}}$ и $\frac {7}{4\sqrt{3}}$ соответственно.
Ответ. $\sqrt {\frac {7}{3}}, \frac {7}{\sqrt{3}}, \frac {7}{4 \sqrt{3}}$.
Bокруг треугольника $ABC$, в котором $а = 2, b = 3$ и угол $C = 60^{\circ}$, описана окружность. Определить радиусы окружностей, проходящих через две вершины треугольника и центр описанной окружности.
Решение:
По теореме косинусов
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 7$,
откуда $c = \sqrt{7}$.
По теореме синусов
$R = \frac {c}{2 \sin C} = \sqrt {7/3}$.
Угол $AOB$ (рис.) центральный, а угол $ACB$ вписанный. У них общая дуга, т.е. угол $AOB$ равен $120^{\circ}$.
Применим теперь теорему синусов к треугольнику $AOB$:
$R_{AOB} = \frac {с}{2 \sin 120^{\circ}} = \sqrt {7/3}$.
Оставшиеся величины $R_{AOC} и R_{BOC}$ можно найти по формуле
$R = \frac {abc}{4S}$.
Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки $O$:
${OE}^2 = R^2 - \left ( \frac{b}{2} \right )^2 = \frac{7}{3} - \frac{9}{4} = \frac{1}{12}, OE = \frac {1}{\sqrt {12}}$;
${OD}^2 = R^2 - \left ( \frac{a}{2} \right )^2 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}, OD = \frac {2}{ \sqrt {3}}$.
Таким образом, площади треугольников $AOC$ и $BOC$ равны $\frac {3}{2 \sqrt{12}}$ и $\frac {32}{\sqrt{3}}$ соответственно, а радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны $\frac {7}{\sqrt{3}}$ и $\frac {7}{4\sqrt{3}}$ соответственно.
Ответ. $\sqrt {\frac {7}{3}}, \frac {7}{\sqrt{3}}, \frac {7}{4 \sqrt{3}}$.
