Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2179
2019-03-17 
Через произвольную точку $O$, взятую внутри треугольника $ABC$, проведены прямые $DE, FK, MN$, параллельные соответственно $AB, AC, BC$, причем $F$ и $M$ лежат на $AB, E$ и $K$ - на $BC, N$ и $D$ - на $AC$. Доказать, что $\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = 1$.
Решение:
Треугольник $ABC$ и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис.), подобные. Поэтому
$\frac{AF}{AB} = \frac{OD}{AB} = \frac{ON}{BC} = \frac{KC}{BC}$,
$\frac{CN}{CA} = \frac{OK}{CA} = \frac{EK}{BC}$.
Следовательно,
$\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = \frac{KC}{BC} + \frac{BE}{BC} + \frac{EK}{EC} = 1$.
Через произвольную точку $O$, взятую внутри треугольника $ABC$, проведены прямые $DE, FK, MN$, параллельные соответственно $AB, AC, BC$, причем $F$ и $M$ лежат на $AB, E$ и $K$ - на $BC, N$ и $D$ - на $AC$. Доказать, что $\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = 1$.
Решение:
Треугольник $ABC$ и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис.), подобные. Поэтому
$\frac{AF}{AB} = \frac{OD}{AB} = \frac{ON}{BC} = \frac{KC}{BC}$,
$\frac{CN}{CA} = \frac{OK}{CA} = \frac{EK}{BC}$.
Следовательно,
$\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = \frac{KC}{BC} + \frac{BE}{BC} + \frac{EK}{EC} = 1$.
