ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-05   
B треугольнике $ABC$ имеется точка $O$ такая, что углы $ABO, BCO$ и $CAO$ равны $\alpha$. Выразить $ctg \alpha$ через площадь треугольника и его стороны.


Решение:



Первый способ. После того как из точки $O$ опущены перпендикуляры длины $x, y$ и $z$ на стороны $a, b$ и $c$ соответственно (рис.), можно записать

$2S = ax + by + cz$.

C одной стороны, $AO = \frac{y}{\sin \alpha}$, а с другой стороны, $AO = \sqrt{z^2 + AC_1^2} = \sqrt {z^2 + (c - z ctg \alpha)^2}$. Таким образом,

$\frac{y}{\sin \alpha} = \sqrt{z^2 + (c - z ctg \alpha)^2}$.

После простых преобразований получим

$(y^2 - z^2) cosec^2 \alpha = c^2 - 2cz ctg \alpha$,
$(x^2 - y^2) cosec^2 \alpha = b^2 - 2by ctg \alpha$,
$(z^2 - x^2) cosec^2 \alpha = a^2 - 2ax ctg \alpha$,

где последние два уравнения выведены аналогично первому из рассмотренных отрезков $CO$ и $BO$. Сложив все три уравнения, получим в левой части нуль, а в правой - выражение, в которое входит $S$:

$0 = (a^2 + b^2 + c^2) - 2(ax + by +cz) ctg \alpha$.

Таким образом, $ctg \alpha = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}$.


Второй способ. Так как площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей трех треугольников, на которые треугольник $ABC$ разбивается точкой $O$ (рис.), то

$S = \frac{1}{2} sin \alpha (an +bl + cm)$.

Записав теорему косинусов для каждого из треугольников $AOB, BOC, COA$ получим

$2 an \cos \alpha = a^2 + n^2 - m^2$,
$2 bl \cos \alpha = b^2 + l^2 - n^2$,
$2 cm \cos \alpha = c^2 + m^2 - l^2$.

Сложим три последних равенства:

$2 \cos \alpha (an + bl + cm) = a^2 + b^2 + c^2$.

Используя полученное ранее выражение для $S$ исключим $an + bl + cm$.
Ответ. $ctg \alpha = \frac {a^2 + b^2 + c^2}{4S}$.