Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2165
2019-03-05 
Внутри угла $\alpha$ взята точка $M$. Ее проекции $P$ и $Q$ на стороны угла удалены от вершины $O$ угла на расстояния $0P=p$ и $OQ = q$. Найти расстояния $MP$ и $MQ$ от точки $M$ до сторон угла.
Решение:
Из треугольника $MPA$ (рис.) находим $MP = PA ctg \alpha$. Но $PA=OA-OP= \frac{q}{\cos \alpha} - p$.
Таким образом,
$MP = \left (\frac{q}{\cos \alpha} - p \right ) ctg \alpha = \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Находим $MQ$:
$MQ = AQ - AM = AQ - \frac{MP}{\cos \alpha} = q tg \alpha - \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{q \sin^2 \alpha - q + p \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{p \cos \alpha - q (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac {p-q \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Полезно заметить, что $MQ$ можно было не вычислять, поскольку выражение для $MQ$ должно получиться из выражения для $MP$ с помощью замены $p$ на $q$, а $q$ на $p$.
Ответ. $MP = \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha}, MP = \frac{p-q \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Внутри угла $\alpha$ взята точка $M$. Ее проекции $P$ и $Q$ на стороны угла удалены от вершины $O$ угла на расстояния $0P=p$ и $OQ = q$. Найти расстояния $MP$ и $MQ$ от точки $M$ до сторон угла.
Решение:
Из треугольника $MPA$ (рис.) находим $MP = PA ctg \alpha$. Но $PA=OA-OP= \frac{q}{\cos \alpha} - p$.
Таким образом,
$MP = \left (\frac{q}{\cos \alpha} - p \right ) ctg \alpha = \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Находим $MQ$:
$MQ = AQ - AM = AQ - \frac{MP}{\cos \alpha} = q tg \alpha - \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{q \sin^2 \alpha - q + p \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{p \cos \alpha - q (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac {p-q \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Полезно заметить, что $MQ$ можно было не вычислять, поскольку выражение для $MQ$ должно получиться из выражения для $MP$ с помощью замены $p$ на $q$, а $q$ на $p$.
Ответ. $MP = \frac{q-p \cos \alpha}{\sin \alpha}, MP = \frac{p-q \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
