Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2164
2019-03-05 
B треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $BN$. Пусть $O$ - точка их пересечения. Известно, что $AO$ относится к $OM$, как $\sqrt{3}$ к единице, а $BO$ к $ON$ - как единица к $\sqrt{3} - 1$. Найти углы треугольника.
Решение:
B треугольнике $ABC$ (рис.) по условию имеем $\frac{AO}{OM} = \sqrt {3}$. Так как $BO$ — биссектриса треугольника $ABM$, то $AB:BM = AO:OM = \sqrt{3}$. Аналогично
$AB:AN=BO:ON = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} +1}{2}$.
Если к треугольникам $ABM$ и $ABN$ применить теорему синусов, то получим
$\frac{AB}{BM} = \frac{\sin (\frac{A}{2} +B)}{\sin \frac{A}{2}}$ и $\frac{AB}{AN} = \frac{\sin (A + \frac{B}{2})}{\sin \frac{B}{2}}$.
Подставляя вместо $AB:BM$ и $AB:AN$ их отношения, придем к системе уравнений
$\begin{cases} \sin (\frac{A}{2} + B) = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2} \\ \sin (A + \frac{B}{2}) = \frac{\sqrt{3} + 1}(2) \sin \frac{B}{2} \end{cases}$
или
$\begin{cases} \sin (\frac{A}{2}) \cos B + \sin B \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2} \\ \sin A \cos (\frac{B}{2}) + \sin (\frac{B}{2}) \cos A = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin \frac{B}{2} \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на $\sin \frac{A}{2}$, а второе — на $\sin \frac{B}{2}$. После этого найдем из первого уравнения $ctg \frac{A}{2}$, а из второго $ctg \frac{B}{2}$:
$ctg \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3} - \cos B}{\sin B}$, $ctg \frac{B}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{2} - \cos A}{\sin A}$.
Чтобы упростить эту систему, воспользуемся формулой для котангенса половинного угла:
$\begin{cases} \frac{1 + \cos A}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} - \cos B}{\sin B} \\ \frac{1 + \cos B}{\sin B} = \frac{\frac {\sqrt{3} +1}{2} - \cos A}{\sin A} \end{cases}$
Приравняем отношения $\frac {\sin B}{\sin A}$, найденные из первого и второго уравнений:
$\frac {\sqrt{3} - \cos B}{1+ \cos A} = \frac {1 + \cos B}{\frac {\sqrt {3} + 1}{2} - \cos A}$,
т. е. $\cos A + \frac {\sqrt {3}}{2} \cos B = \frac {1}{2}$..
Второе уравнение последней системы преобразуется так:
$\frac{1 + \cos B}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2 \sin A} - \frac{1 + \cos A}{\sin A}$.
Последнее слагаемое заменяется с помощью первого уравнения этой системы. Получим после преобразований:
$\frac{1}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2 \sin A} - \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$, т.е. $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin B$.
Итак, мы пришли к системе
$\begin{cases} \cos A = \frac {1}{2} - \frac {\sqrt{3}}{2} \cos B \\ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin B \end{cases}$.
Возводя в квадрат и складывая, найдем, что $\cos B=0$. Следовательно, $B = \frac{\pi}{2}$. Так как $ \sin B = l$, то $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $A = \frac {\pi}{3}$. Hа долю угла C остается $\frac{\pi}{6}$.
Ответ. Углы $A, B$ и $C$ равны $\pi/3, \pi/2, \pi/6$ соответственно.
B треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AM$ и $BN$. Пусть $O$ - точка их пересечения. Известно, что $AO$ относится к $OM$, как $\sqrt{3}$ к единице, а $BO$ к $ON$ - как единица к $\sqrt{3} - 1$. Найти углы треугольника.
Решение:
B треугольнике $ABC$ (рис.) по условию имеем $\frac{AO}{OM} = \sqrt {3}$. Так как $BO$ — биссектриса треугольника $ABM$, то $AB:BM = AO:OM = \sqrt{3}$. Аналогично
$AB:AN=BO:ON = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} +1}{2}$.
Если к треугольникам $ABM$ и $ABN$ применить теорему синусов, то получим
$\frac{AB}{BM} = \frac{\sin (\frac{A}{2} +B)}{\sin \frac{A}{2}}$ и $\frac{AB}{AN} = \frac{\sin (A + \frac{B}{2})}{\sin \frac{B}{2}}$.
Подставляя вместо $AB:BM$ и $AB:AN$ их отношения, придем к системе уравнений
$\begin{cases} \sin (\frac{A}{2} + B) = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2} \\ \sin (A + \frac{B}{2}) = \frac{\sqrt{3} + 1}(2) \sin \frac{B}{2} \end{cases}$
или
$\begin{cases} \sin (\frac{A}{2}) \cos B + \sin B \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2} \\ \sin A \cos (\frac{B}{2}) + \sin (\frac{B}{2}) \cos A = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin \frac{B}{2} \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на $\sin \frac{A}{2}$, а второе — на $\sin \frac{B}{2}$. После этого найдем из первого уравнения $ctg \frac{A}{2}$, а из второго $ctg \frac{B}{2}$:
$ctg \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3} - \cos B}{\sin B}$, $ctg \frac{B}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{2} - \cos A}{\sin A}$.
Чтобы упростить эту систему, воспользуемся формулой для котангенса половинного угла:
$\begin{cases} \frac{1 + \cos A}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} - \cos B}{\sin B} \\ \frac{1 + \cos B}{\sin B} = \frac{\frac {\sqrt{3} +1}{2} - \cos A}{\sin A} \end{cases}$
Приравняем отношения $\frac {\sin B}{\sin A}$, найденные из первого и второго уравнений:
$\frac {\sqrt{3} - \cos B}{1+ \cos A} = \frac {1 + \cos B}{\frac {\sqrt {3} + 1}{2} - \cos A}$,
т. е. $\cos A + \frac {\sqrt {3}}{2} \cos B = \frac {1}{2}$..
Второе уравнение последней системы преобразуется так:
$\frac{1 + \cos B}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2 \sin A} - \frac{1 + \cos A}{\sin A}$.
Последнее слагаемое заменяется с помощью первого уравнения этой системы. Получим после преобразований:
$\frac{1}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2 \sin A} - \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$, т.е. $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin B$.
Итак, мы пришли к системе
$\begin{cases} \cos A = \frac {1}{2} - \frac {\sqrt{3}}{2} \cos B \\ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin B \end{cases}$.
Возводя в квадрат и складывая, найдем, что $\cos B=0$. Следовательно, $B = \frac{\pi}{2}$. Так как $ \sin B = l$, то $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $A = \frac {\pi}{3}$. Hа долю угла C остается $\frac{\pi}{6}$.
Ответ. Углы $A, B$ и $C$ равны $\pi/3, \pi/2, \pi/6$ соответственно.
