Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2163
2019-03-05 
B треугольнике площади $S$ с острым углом $\alpha$ при вершине $A$ биссектриса угла $A$ в $р$ раз меньше радиуса описанного и в $q$ раз больше радиуса вписанного круга. Найти сторону треугольника, лежащую против угла $A$.
Решение:
Воспользуемся сравнением площадей. C одной стороны, $S = pr = \frac{a+b+c}{2}r$, где через $а$ обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что $2S = ar + (b+c) r$. C другой стороны, если биссектрису угла $A$ обозначить через $l_a$, то $S = \frac{1}{2} l_ab \sin \frac{a}{2} + \frac{1}{2} l_ac \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} l_a (b+c) \sin \frac{a}{2}$ (рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что $b+c = \frac{2S}{l_a \sin \frac{a}{2}}$. Подставляем в выражение для $2S$, полученное раньше:
$2S = ar + \frac{2S_r}{l_a \sin \frac{a}{2}} = ar + \frac{2S}{q \sin \frac{a}{2}}$.
B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому $l_a = rq$. Осталось ввести в рассмотрение радиус $R$ описанной окружности. По условию $R = pqr$. По теореме синусов
$а = 2R \sin а = 2pqr \sin а$, откуда $r = \frac{a}{2pq \sin a}$.
откуда $r = \frac{a}{2pq \sin \alpha}$.Полученное соотношение позволяет определить $а$ из последнего выражения для $2S$. B самом деле, после подстановки получим
$2S = \frac{a^2}{2pq \sin a} + \frac{2S}{q \sin \frac{a}{2}}$,
откуда после несложных преобразований найдем $а$.
Ответ. $а = \sqrt{8pS \cos \frac{a}{2} \left (q \sin \frac{a}{2} - 1 \right )}$.
B треугольнике площади $S$ с острым углом $\alpha$ при вершине $A$ биссектриса угла $A$ в $р$ раз меньше радиуса описанного и в $q$ раз больше радиуса вписанного круга. Найти сторону треугольника, лежащую против угла $A$.
Решение:
Воспользуемся сравнением площадей. C одной стороны, $S = pr = \frac{a+b+c}{2}r$, где через $а$ обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что $2S = ar + (b+c) r$. C другой стороны, если биссектрису угла $A$ обозначить через $l_a$, то $S = \frac{1}{2} l_ab \sin \frac{a}{2} + \frac{1}{2} l_ac \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} l_a (b+c) \sin \frac{a}{2}$ (рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что $b+c = \frac{2S}{l_a \sin \frac{a}{2}}$. Подставляем в выражение для $2S$, полученное раньше:
$2S = ar + \frac{2S_r}{l_a \sin \frac{a}{2}} = ar + \frac{2S}{q \sin \frac{a}{2}}$.
B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому $l_a = rq$. Осталось ввести в рассмотрение радиус $R$ описанной окружности. По условию $R = pqr$. По теореме синусов
$а = 2R \sin а = 2pqr \sin а$, откуда $r = \frac{a}{2pq \sin a}$.
откуда $r = \frac{a}{2pq \sin \alpha}$.Полученное соотношение позволяет определить $а$ из последнего выражения для $2S$. B самом деле, после подстановки получим
$2S = \frac{a^2}{2pq \sin a} + \frac{2S}{q \sin \frac{a}{2}}$,
откуда после несложных преобразований найдем $а$.
Ответ. $а = \sqrt{8pS \cos \frac{a}{2} \left (q \sin \frac{a}{2} - 1 \right )}$.
