Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2162
2019-03-05 
Вычислить длину $l$ биссектрисы внешнего угла $A$ треугольника, если даны его стороны $b$ и $с$ и угол $A$ между ними ($b \neq c$).
Решение:
С одной стороны, площадь треугольника $CDA$ можно выразить через стороны $b, l$ и угол между ними, а с другой стороны, - как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ABD$:
$S_{CAD} = \frac{1}{2} bl \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{A}{2}), S_{CAD} = S_{ABC} + S_{ABD} = \frac{1}{2} bc \sin A + \frac{1}{2} cl \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}) = \frac{1}{2} c(b \sin A + l \cos \frac{A}{2})$.
Приравнивая эти два выражении, найдем
$l (b-c) \ cos \frac{A}{2} = bc \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
или
$l(b-c) \cos \frac{A}{2} = 2bc \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
Так как $\cos \frac{A}{2}$ в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем $l$.
Ответ. $l = \frac{2bc \sin \frac{A}{2}}{b-c}$.
Вычислить длину $l$ биссектрисы внешнего угла $A$ треугольника, если даны его стороны $b$ и $с$ и угол $A$ между ними ($b \neq c$).
Решение:
С одной стороны, площадь треугольника $CDA$ можно выразить через стороны $b, l$ и угол между ними, а с другой стороны, - как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ABD$:
$S_{CAD} = \frac{1}{2} bl \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{A}{2}), S_{CAD} = S_{ABC} + S_{ABD} = \frac{1}{2} bc \sin A + \frac{1}{2} cl \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}) = \frac{1}{2} c(b \sin A + l \cos \frac{A}{2})$.
Приравнивая эти два выражении, найдем
$l (b-c) \ cos \frac{A}{2} = bc \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
или
$l(b-c) \cos \frac{A}{2} = 2bc \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
Так как $\cos \frac{A}{2}$ в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем $l$.
Ответ. $l = \frac{2bc \sin \frac{A}{2}}{b-c}$.
