ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-05   
Дан треугольник $ABC$, углы $B$ и $C$ которого относятся, как 1:3, а биссектриса угла $A$ делит площадь треугольника в отношении 2:1. Найти углы треугольника.


Решение:


Так как $B = 3C$, то из соотношения между площадями мы получим

$\frac{S_{ADC}}{S_{ABD}} = \frac{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin \frac{A}{2}}{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin \frac{A}{2}} = 2$,

т.е. $\frac{AC}{AB} = 2$, откуда, в силу теоремы синусов, $\frac{\sin B}{\sin C} = 2$. Вспоминая, что по условию $B = 3C$, придем к тригонометрическому уравнению $\sin 3C = 2 \sin C$. Домножим обе части уравнения на $\cos C$, получим $\sin 3C \cos C = \sin 2C$. Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению

$\sin 4C + \sin 2C = 2 \sin 2C$,

или

$\sin 4C = \sin 2C$.

Так как $C$ - угол треугольника, меньший $\frac{\pi}{4}$ (ведь $3C$ и $C$ - углы одного треугольника), то последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

$4C = \pi - 2C$, т.е. $C = \frac{\pi}{6}$.

Находим остальные углы:

$B = 3C = \frac{\pi}{2}, A = \frac{\pi}{3}$.
Ответ. $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.