Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2160
2019-03-05 
Даны внутренние углы $A, B, C$ треугольника $ABC$. Пусть окружность касается сторон $BC, AC$ и $AB$ треугольника соответственно в точках $A_1, B_1, C_1$. Найти отношение площади треугольника $A_1B_1C_1$ к площади треугольника $ABC$.
Решение:
Выразим площадь треугольника $ABC$ через радиус $r$ вписанной окружности и углы $A, B$ и $C$ треугольника. Bначале запишем
$S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$ (рис.).
Так как
$S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \sin AOB$,
где
$AO = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}, BO = \frac{r}{\sin \frac{B}{2}}, \angle AOB = \pi - (\frac{A+B}{2})$
и, следовательно,
$\sin AOB = \sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$,
то
$S_{AOB} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}}$.
Аналогично находим $S_{B0C}$ и $S_{C0A}$ и вычисляем искомую площадь:
$S_{ABC} = \frac{r^2}{4} \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}}$.
Выразим теперь через $r, A, B$ и $C$ площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Разобьем и его на три треугольника:
$S_{A_1B_1C_1} = S_{A_1OB_1} + S_{B_1OC_1} + S_{C_1OA_1} = \frac{r^2}{2} (\sin A_1OB_1 + \sin B_1OC_1 + \sin C_1OA_1)$.
Чтобы найти угол $A_1OB_l$ рассмотрим четырехугольник $A_1OB_1C$. B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других: угол $A_1OB_1$ и угол $C$ — образуют в сумме развернутый угол, т.е. угол $A_1OB_1$ равен $\pi — C$. Аналогично находим углы $B_1OC_1$ и $C_1OA_1$.
Итак,
$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} r^2 (\sin A + \sin B + \sin C)$.
Остается найти отношение $S_{A_1B_1C_1}$ : $S_{ABC}$.
Ответ. $2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
Даны внутренние углы $A, B, C$ треугольника $ABC$. Пусть окружность касается сторон $BC, AC$ и $AB$ треугольника соответственно в точках $A_1, B_1, C_1$. Найти отношение площади треугольника $A_1B_1C_1$ к площади треугольника $ABC$.
Решение:
Выразим площадь треугольника $ABC$ через радиус $r$ вписанной окружности и углы $A, B$ и $C$ треугольника. Bначале запишем
$S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$ (рис.).
Так как
$S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \sin AOB$,
где
$AO = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}, BO = \frac{r}{\sin \frac{B}{2}}, \angle AOB = \pi - (\frac{A+B}{2})$
и, следовательно,
$\sin AOB = \sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$,
то
$S_{AOB} = \frac{1}{2} r^2 \frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}}$.
Аналогично находим $S_{B0C}$ и $S_{C0A}$ и вычисляем искомую площадь:
$S_{ABC} = \frac{r^2}{4} \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}}$.
Выразим теперь через $r, A, B$ и $C$ площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Разобьем и его на три треугольника:
$S_{A_1B_1C_1} = S_{A_1OB_1} + S_{B_1OC_1} + S_{C_1OA_1} = \frac{r^2}{2} (\sin A_1OB_1 + \sin B_1OC_1 + \sin C_1OA_1)$.
Чтобы найти угол $A_1OB_l$ рассмотрим четырехугольник $A_1OB_1C$. B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других: угол $A_1OB_1$ и угол $C$ — образуют в сумме развернутый угол, т.е. угол $A_1OB_1$ равен $\pi — C$. Аналогично находим углы $B_1OC_1$ и $C_1OA_1$.
Итак,
$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} r^2 (\sin A + \sin B + \sin C)$.
Остается найти отношение $S_{A_1B_1C_1}$ : $S_{ABC}$.
Ответ. $2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
