Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2159
2019-03-05 
B треугольнике соединены основания биссектрис. Найти отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как $p:q:l$.
Решение:
Если сторона $a$ треугольника $ABC$ биссектрисой $AA_1$ разделена на отрезки $a_1$ и $a_2$, то можно записать следующие соотношения (рис.):
$\begin{cases} a_1 + a_2 = a \\ \frac{a_1}{a_2} = \frac{c}{b} \end{cases}$.
Решая эту систему уравнений относительно $a_1$ и $a_2$, получим
$a_1 = \frac{ac}{b+c}, a_2 = \frac{ab}{b+c}$.
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны $b$ и $c$ треугольника $ABC$:
$b_1 = \frac{ba}{c+a}, b_2 = \frac{bc}{c+a}, c_1 = \frac{cb}{a+b}, c_2 = \frac{ca}{a+b}$.
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{c_1b_2}{cb} = \frac{bc}{(a+b)(a+c)}$.
Аналогично находим
$\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} = \frac{ac}{(a+b)(b+c)}, \frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} = \frac{ab}{(a+c)(b+c)}$.
Теперь найдем отношение $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$:
$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = 1 - ( \frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} + \frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} + \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}) = 1 - \left (\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ac}{(a+b)(b+c)} + \frac{ab}{(a+c)(b+c)} \right ) = \frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} = \frac{2pql}{(p+q)(p+l)(q+l)}$.
Ответ. $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{(p+q)(p+l)(q+l)}{2pql}$.
B треугольнике соединены основания биссектрис. Найти отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как $p:q:l$.
Решение:
Если сторона $a$ треугольника $ABC$ биссектрисой $AA_1$ разделена на отрезки $a_1$ и $a_2$, то можно записать следующие соотношения (рис.):
$\begin{cases} a_1 + a_2 = a \\ \frac{a_1}{a_2} = \frac{c}{b} \end{cases}$.
Решая эту систему уравнений относительно $a_1$ и $a_2$, получим
$a_1 = \frac{ac}{b+c}, a_2 = \frac{ab}{b+c}$.
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны $b$ и $c$ треугольника $ABC$:
$b_1 = \frac{ba}{c+a}, b_2 = \frac{bc}{c+a}, c_1 = \frac{cb}{a+b}, c_2 = \frac{ca}{a+b}$.
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{c_1b_2}{cb} = \frac{bc}{(a+b)(a+c)}$.
Аналогично находим
$\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} = \frac{ac}{(a+b)(b+c)}, \frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} = \frac{ab}{(a+c)(b+c)}$.
Теперь найдем отношение $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$:
$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = 1 - ( \frac{S_{A_1B_1C}}{S_{ABC}} + \frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} + \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}) = 1 - \left (\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ac}{(a+b)(b+c)} + \frac{ab}{(a+c)(b+c)} \right ) = \frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} = \frac{2pql}{(p+q)(p+l)(q+l)}$.
Ответ. $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{(p+q)(p+l)(q+l)}{2pql}$.
