Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2156
2019-03-05 
Вокруг правильного треугольника $ABC$ описана окружность $О$ радиуса $R$. Окружность $О_1$ касается двух сторон $АВ$ и $ВС$ треугольника и окружности $O$. Найти расстояние от центра окружности $O_1$ до вершины $A$.
Решение:
Треугольник $A_1BC_1$ (рис.) правильный, так как он подобен данному треугольнику $ABC$. Tочки $B, O, C_1$ и $D_1$ лежат на одной прямой. Чтобы найти $AO_1$, нужно вычислить $O_1D$. Hо $O_1D = O_1D_1 - DD_1$. Отрезок $O_1D_1$ равен трети отрезка $BD_1$, как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник $A_1BC_1$. Таким образом, $O_1D_1 = \frac{2R}{3}$. Отрезок $DD_1$ мы найдем, если рассмотрим треугольник $ABC$, как вписанный в окружность с центром $O$:
$DD_1 = \frac{R}{2}$.
Отсюда $O_1D = \frac{2R}{3} - \frac{R}{2} = \frac{R}{6}$. Tак как $AD = \frac{1}{2} AC = \frac{R \sqrt{3}}{2}$, то $AO_1 = \sqrt{(AD)^2 + (O_1D)^2} = \frac{R \sqrt{7}}{3}$.
Ответ. $\frac{R \sqrt{7}}{3}$.
Вокруг правильного треугольника $ABC$ описана окружность $О$ радиуса $R$. Окружность $О_1$ касается двух сторон $АВ$ и $ВС$ треугольника и окружности $O$. Найти расстояние от центра окружности $O_1$ до вершины $A$.
Решение:
Треугольник $A_1BC_1$ (рис.) правильный, так как он подобен данному треугольнику $ABC$. Tочки $B, O, C_1$ и $D_1$ лежат на одной прямой. Чтобы найти $AO_1$, нужно вычислить $O_1D$. Hо $O_1D = O_1D_1 - DD_1$. Отрезок $O_1D_1$ равен трети отрезка $BD_1$, как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник $A_1BC_1$. Таким образом, $O_1D_1 = \frac{2R}{3}$. Отрезок $DD_1$ мы найдем, если рассмотрим треугольник $ABC$, как вписанный в окружность с центром $O$:
$DD_1 = \frac{R}{2}$.
Отсюда $O_1D = \frac{2R}{3} - \frac{R}{2} = \frac{R}{6}$. Tак как $AD = \frac{1}{2} AC = \frac{R \sqrt{3}}{2}$, то $AO_1 = \sqrt{(AD)^2 + (O_1D)^2} = \frac{R \sqrt{7}}{3}$.
Ответ. $\frac{R \sqrt{7}}{3}$.
