Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2153
2019-02-08 
Прямые, содержащие медианы треугольника $ABC$, вторично пересекают его описанную окружность в точках $A_1, B_1, C_1$. Прямые, проходящие через $A, B, C$ и параллельные противоположным сторонам, пересекают её же в точках $A_2, B_2, C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $A^{\prime}$ - точка пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$ и $C$ (аналогично построим точки $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$). Тогда, как известно, прямая $AA^{\prime}$ является симедианой треугольника $ABC$ (т. е. прямой, симметричной $AA_1$ относительно биссектрисы угла $A$). Пусть прямая $AA^{\prime}$ вторично пересекает в точке $A_0$. Тогда $\angle A_1AB = \angle A_0AC$, откуда дуги $BA_1$ и $CA_0$ равны.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, а $\omega$ - его вневписанная окружность, то они симметричны относительно биссектрисы $l$ угла $BA^{\prime}C$. Из равенства дуг следует, что при этой симметрии точки $A_1$ и $A_0$ переходят друг в друга. Заметим, что $l$ - серединный перпендикуляр к $BC$, поэтому $A$ при этой симметрии переходит в $A_2$ (рис.), а, следовательно, прямая $A_1A_2$ переходит в прямую $AA^{\prime}$. Поэтому, так как прямые $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке $L$ как симедианы треугольника $ABC$, то прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ также пересекаются в точке, изогонально сопряжённой $L$ относительно треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
Случай, когда одной из точек $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ не существует, аналогичен.
Прямые, содержащие медианы треугольника $ABC$, вторично пересекают его описанную окружность в точках $A_1, B_1, C_1$. Прямые, проходящие через $A, B, C$ и параллельные противоположным сторонам, пересекают её же в точках $A_2, B_2, C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $A^{\prime}$ - точка пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$ и $C$ (аналогично построим точки $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$). Тогда, как известно, прямая $AA^{\prime}$ является симедианой треугольника $ABC$ (т. е. прямой, симметричной $AA_1$ относительно биссектрисы угла $A$). Пусть прямая $AA^{\prime}$ вторично пересекает в точке $A_0$. Тогда $\angle A_1AB = \angle A_0AC$, откуда дуги $BA_1$ и $CA_0$ равны.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, а $\omega$ - его вневписанная окружность, то они симметричны относительно биссектрисы $l$ угла $BA^{\prime}C$. Из равенства дуг следует, что при этой симметрии точки $A_1$ и $A_0$ переходят друг в друга. Заметим, что $l$ - серединный перпендикуляр к $BC$, поэтому $A$ при этой симметрии переходит в $A_2$ (рис.), а, следовательно, прямая $A_1A_2$ переходит в прямую $AA^{\prime}$. Поэтому, так как прямые $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке $L$ как симедианы треугольника $ABC$, то прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ также пересекаются в точке, изогонально сопряжённой $L$ относительно треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
Случай, когда одной из точек $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ не существует, аналогичен.
