Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2152
2019-02-08 
Дана окружность и точка $P$ внутри неё, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке $P$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Решение:
Пусть $X$ - точка пересечения касательных. Проведём окружность с центром $X$ и радиусом $XP$ и рассмотрим инверсию относительно неё. При этой инверсии окружности, касающиеся в точке $P$, перейдут друг в друга, так как они касаются окружности инверсии и двух прямых, переходящих в себя. Следовательно, исходная окружность перейдёт в себя. Значит, окружность инверсии ортогональна исходной, т. е. касательная из $X$ к исходной окружности равна $XP$, и $X$ лежит на радикальной оси точки $P$ и исходной окружности. Очевидно, что любая точка радикальной оси может быть получена таким образом, т. е. искомое ГМT совпадает с радикальной осью точки $P$ и исходной окружности.![]()
Дана окружность и точка $P$ внутри неё, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке $P$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Решение:
Пусть $X$ - точка пересечения касательных. Проведём окружность с центром $X$ и радиусом $XP$ и рассмотрим инверсию относительно неё. При этой инверсии окружности, касающиеся в точке $P$, перейдут друг в друга, так как они касаются окружности инверсии и двух прямых, переходящих в себя. Следовательно, исходная окружность перейдёт в себя. Значит, окружность инверсии ортогональна исходной, т. е. касательная из $X$ к исходной окружности равна $XP$, и $X$ лежит на радикальной оси точки $P$ и исходной окружности. Очевидно, что любая точка радикальной оси может быть получена таким образом, т. е. искомое ГМT совпадает с радикальной осью точки $P$ и исходной окружности.
