Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 215
2014-06-07 
Две окружности касаются друг друга. В большую окружность вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей окружности. Доказать, что длина одной из трех касательных равна сумме длин двух других.
Решение:
Пусть $D$ - точка касания окружностей, а $ABC$ - правильный треугольник, вписанный в большую из них. Без ограничения общности можно считать, что точка $D$ лежит на дуге $AB$ (рис.). Докажем, что $DC = DA + DB$. Для этого на отрезке $DC$ возьмем точку $M$, для которой $AD = DM$ (заметим, что $DC \geq BC = AB \geq AD$). Тогда треугольник $ADM$ правильный, ибо он равнобедренный и $\angle ADM = \angle ABC = 60^{\circ}$. Следовательно, при повороте на угол $60^{\circ}$ вокруг точки $A$ точка $D$ переходит в точку $M$, а точка $B$ - в точку $C$, поэтому $BD =MC$ и $DC = DM + MC = AD + DB$. Пусть $R$ и $r$ - радиусы большей и меньшей окружностей соответственно, $l_{A},l_{B},l_{C}$ - длины касательных к меньшей окружности, проведенных из точек $A, B, C$ соответственно, а $A^{\prime}$ - отличная от $D$ (если $A \neq D$; в противном случае $A^{\prime} = D$) точка пересечения прямой $AD$ с меньшей окружностью. Точка $A^{\prime}$ получается из точки $A$ в результате гомотетии с центром $D$ и коэффициентом $\pm r/R$ (если окружности касаются внешним образом, то берется знак «минус», а если внутренним – то «плюс»). Поэтому
$AA^{\prime} = AD \pm DA^{\prime} = AD(1 \pm r/R)$
и по теореме о касательной и секущей имеем
$l_{A} = \sqrt{AD \cdot AA^{\prime}} = AD \sqrt{1 \pm r/R}$.
Аналогично доказываются равенства
$l_{B} = BD \sqrt{1 \pm r/R}, l_{C} = CD \sqrt{1 \pm r/R}$.
Отсюда вытекает требуемое равенство $l_{C} = l_{A} + l_{B}$.
Две окружности касаются друг друга. В большую окружность вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей окружности. Доказать, что длина одной из трех касательных равна сумме длин двух других.
Решение:
Пусть $D$ - точка касания окружностей, а $ABC$ - правильный треугольник, вписанный в большую из них. Без ограничения общности можно считать, что точка $D$ лежит на дуге $AB$ (рис.). Докажем, что $DC = DA + DB$. Для этого на отрезке $DC$ возьмем точку $M$, для которой $AD = DM$ (заметим, что $DC \geq BC = AB \geq AD$). Тогда треугольник $ADM$ правильный, ибо он равнобедренный и $\angle ADM = \angle ABC = 60^{\circ}$. Следовательно, при повороте на угол $60^{\circ}$ вокруг точки $A$ точка $D$ переходит в точку $M$, а точка $B$ - в точку $C$, поэтому $BD =MC$ и $DC = DM + MC = AD + DB$. Пусть $R$ и $r$ - радиусы большей и меньшей окружностей соответственно, $l_{A},l_{B},l_{C}$ - длины касательных к меньшей окружности, проведенных из точек $A, B, C$ соответственно, а $A^{\prime}$ - отличная от $D$ (если $A \neq D$; в противном случае $A^{\prime} = D$) точка пересечения прямой $AD$ с меньшей окружностью. Точка $A^{\prime}$ получается из точки $A$ в результате гомотетии с центром $D$ и коэффициентом $\pm r/R$ (если окружности касаются внешним образом, то берется знак «минус», а если внутренним – то «плюс»). Поэтому
$AA^{\prime} = AD \pm DA^{\prime} = AD(1 \pm r/R)$
и по теореме о касательной и секущей имеем
$l_{A} = \sqrt{AD \cdot AA^{\prime}} = AD \sqrt{1 \pm r/R}$.
Аналогично доказываются равенства
$l_{B} = BD \sqrt{1 \pm r/R}, l_{C} = CD \sqrt{1 \pm r/R}$.
Отсюда вытекает требуемое равенство $l_{C} = l_{A} + l_{B}$.
