Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2145
2019-02-08 
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности, $O^{\prime}$ - центр окружности, проходящей через середины сторон $ABC$, $P$ - центр тяжести $ABC$. Поскольку вершины треугольника $ABC$ переходят в середины его сторон при гомотетии с центром $P$ и коэффициентом - 1/2, $P$ лежит на отрезке $OO^{\prime}$ и делит его в отношении 2 : 1. Kроме того, так как множество середин хорд, проходящих через $M$, - это окружность с диаметром $OM$, множество центров тяжести треугольников $ABC$ - тоже окружность, получающаяся из неё гомотетией с центром $A$ и коэффициентом 2/3. Значит, множество точек $O^{\prime}$ - тоже окружность (рис.).
Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон $ABC$, равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки $O^{\prime}$ (если точка $M$ совпадает с $O$, одна из этих окружностей вырождается в точку).
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности, $O^{\prime}$ - центр окружности, проходящей через середины сторон $ABC$, $P$ - центр тяжести $ABC$. Поскольку вершины треугольника $ABC$ переходят в середины его сторон при гомотетии с центром $P$ и коэффициентом - 1/2, $P$ лежит на отрезке $OO^{\prime}$ и делит его в отношении 2 : 1. Kроме того, так как множество середин хорд, проходящих через $M$, - это окружность с диаметром $OM$, множество центров тяжести треугольников $ABC$ - тоже окружность, получающаяся из неё гомотетией с центром $A$ и коэффициентом 2/3. Значит, множество точек $O^{\prime}$ - тоже окружность (рис.).
Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон $ABC$, равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки $O^{\prime}$ (если точка $M$ совпадает с $O$, одна из этих окружностей вырождается в точку).
