Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2144
2019-02-08 
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Решение:
Пусть $O$ - центр внешней окружности, $O_1, O_2$ - центры внутренних, $A, B$ - точки касания. Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $OB$, а через $O_2$ прямую, параллельную $OA$. По теореме Фалеса эти прямые пересекутся в точке $C$, лежащей на отрезке $AB$. При этом
$O_1C = O_1A$ и $O_2C = O_2B$
так, что точка $C$ принадлежит обеим внутренним окружностям (рис.).
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Решение:
Пусть $O$ - центр внешней окружности, $O_1, O_2$ - центры внутренних, $A, B$ - точки касания. Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $OB$, а через $O_2$ прямую, параллельную $OA$. По теореме Фалеса эти прямые пересекутся в точке $C$, лежащей на отрезке $AB$. При этом
$O_1C = O_1A$ и $O_2C = O_2B$
так, что точка $C$ принадлежит обеим внутренним окружностям (рис.).
