Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2143
2019-02-08 
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - проекции $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, лежит внутри треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, C_1$ - точки, симметричные $P$ относительно $BC, CA, AB$. Так как $CA_1 = CP = CB_1$, серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$ совпадает с биссектрисой $\angle A_1CB_1$. Так как $\angle A_1CB_1 = 2 \angle ACB$, эта биссектриса проходит внутри $\angle ACB$ (![]()
). Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1C_1$ и $B_1C_1$ проходят внутри соответствующих углов треугольника $ABC$. Следовательно, центр $Q$ окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$, лежит внутри треугольника $ABC$. Так как треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ получается из треугольника $A_1B_1C_1$ гомотетией с центром $P$ и коэффициентом 1/2, центр окружности, описанной около $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, совпадает с серединой отрезка $PQ$ и, значит, лежит внутри $ABC$.
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - проекции $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, лежит внутри треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, C_1$ - точки, симметричные $P$ относительно $BC, CA, AB$. Так как $CA_1 = CP = CB_1$, серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$ совпадает с биссектрисой $\angle A_1CB_1$. Так как $\angle A_1CB_1 = 2 \angle ACB$, эта биссектриса проходит внутри $\angle ACB$ (
