Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2142
2019-02-08 
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ - какой-нибудь стороне?
Решение:
Предположим противное, и пусть $AB$ - наибольшая сторона многоугольника, $CD$ - наименьшая диагональ ($AB$ и $CD$ могут иметь один общий конец), $E$ - вершина, лежащая от $CD$ по другую сторону, чем $A$ и $B$ (рис.). Тогда, так как $AE \leq AB$ и $BE \leq AB$, $\angle AEB \geq 60^{\circ}$. C другой стороны, так как $CE \geq CD$ и $DE \geq CD$, $\angle CED \leq 60^{\circ}$. Но $\angle CED > \angle AEB$ - противоречие.
Ответ. Нет.
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ - какой-нибудь стороне?
Решение:
Предположим противное, и пусть $AB$ - наибольшая сторона многоугольника, $CD$ - наименьшая диагональ ($AB$ и $CD$ могут иметь один общий конец), $E$ - вершина, лежащая от $CD$ по другую сторону, чем $A$ и $B$ (рис.). Тогда, так как $AE \leq AB$ и $BE \leq AB$, $\angle AEB \geq 60^{\circ}$. C другой стороны, так как $CE \geq CD$ и $DE \geq CD$, $\angle CED \leq 60^{\circ}$. Но $\angle CED > \angle AEB$ - противоречие.
Ответ. Нет.
