Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2141
2019-02-08 
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей, $X, Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA, PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Решение:
Рассмотрим случай, когда $P$ лежит внутри второй окружности (рис.). Пусть $Q$ - точка пересечения прямой, проходящей через $P$ и перпендикулярной $AB$, лежащая вне первой окружности. Тогда
$\angle QPX = \frac{\cup QX + \cup AP}{2}, \angle QPY = \frac{\cup QY + \cup BP}{2}$.
Но
$\frac{\cup AP - \cup BP}{2} = \angle PBA - \angle PAB = \angle QPX - \angle QPY$,
следовательно, дуги $QX$ и $QY$ равны. Другие случаи рассматриваются аналогично.
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей, $X, Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA, PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Решение:
Рассмотрим случай, когда $P$ лежит внутри второй окружности (рис.). Пусть $Q$ - точка пересечения прямой, проходящей через $P$ и перпендикулярной $AB$, лежащая вне первой окружности. Тогда
$\angle QPX = \frac{\cup QX + \cup AP}{2}, \angle QPY = \frac{\cup QY + \cup BP}{2}$.
Но
$\frac{\cup AP - \cup BP}{2} = \angle PBA - \angle PAB = \angle QPX - \angle QPY$,
следовательно, дуги $QX$ и $QY$ равны. Другие случаи рассматриваются аналогично.
