Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 214
2014-06-07 
Сторона ВС треугольника ABC касается вписанной в него окружности в точке D. Доказать, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.
Решение:
Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, а внеписанная окружность касается стороны $CB$ в точке $L$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно (рис.). Тогда имеем
$2DB = DB + BE = CB – CD + AB – AE = CB + AB – CF – AF=CB + AB -AC$,
$2CL = CL + CN = CB – LB + AN – AC = CB – BM +AM – AC = CB + AB - AC$,
откуда
$DBB = (CB +AB - AC)/2 = CL$,
а значит, середина отрезка $BC$ совпадает с серединой отрезка $LD$. Пусть точка $C^{\prime}$ диаметрально противоположна точке $D$ на вписанной окружности, а прямая $C^{\prime}B^{\prime}$ касается этой окружности в точке $D^{\prime}$. Рассмотрим гомотетию с центром $A$, переводящую вневписаиную окружность во вписанную. При этой гомотетии точка $L$ переходит в точку $D^{\prime}$. Следовательно, точки $L, D^{\prime}$ и $A$ лежат на одной прямой, поэтому середины отрезков $LD, D^{\prime}D$ и $AD$ также лежат на одной прямой – средней линии треугольника $ADL$ (параллельной стороне $AL$), что и требовалось доказать.
Сторона ВС треугольника ABC касается вписанной в него окружности в точке D. Доказать, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.
Решение:
Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, а внеписанная окружность касается стороны $CB$ в точке $L$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно (рис.). Тогда имеем
$2DB = DB + BE = CB – CD + AB – AE = CB + AB – CF – AF=CB + AB -AC$,
$2CL = CL + CN = CB – LB + AN – AC = CB – BM +AM – AC = CB + AB - AC$,
откуда
$DBB = (CB +AB - AC)/2 = CL$,
а значит, середина отрезка $BC$ совпадает с серединой отрезка $LD$. Пусть точка $C^{\prime}$ диаметрально противоположна точке $D$ на вписанной окружности, а прямая $C^{\prime}B^{\prime}$ касается этой окружности в точке $D^{\prime}$. Рассмотрим гомотетию с центром $A$, переводящую вневписаиную окружность во вписанную. При этой гомотетии точка $L$ переходит в точку $D^{\prime}$. Следовательно, точки $L, D^{\prime}$ и $A$ лежат на одной прямой, поэтому середины отрезков $LD, D^{\prime}D$ и $AD$ также лежат на одной прямой – средней линии треугольника $ADL$ (параллельной стороне $AL$), что и требовалось доказать.
