Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2138
2019-02-08 
Bпишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.
Решение:
Очевидно, вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге, а третья на диаметре полукруга, либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге. Рассмотрим первый случай. Пусть вершины $A, B$ лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к $AB$ проходит через центр полукруга. Следовательно, третья вершина совпадает с центром и сторона треугольника равна радиусу полукруга (рис.).
Bо втором случае высота треугольника не превосходит радиуса полукруга, причём в случае, изображённом на рис., равенство достигается. Следовательно, именно этот треугольник и будет искомым.
Bпишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.
Решение:
Очевидно, вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге, а третья на диаметре полукруга, либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге. Рассмотрим первый случай. Пусть вершины $A, B$ лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к $AB$ проходит через центр полукруга. Следовательно, третья вершина совпадает с центром и сторона треугольника равна радиусу полукруга (рис.).
Bо втором случае высота треугольника не превосходит радиуса полукруга, причём в случае, изображённом на рис., равенство достигается. Следовательно, именно этот треугольник и будет искомым.
