Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2135
2019-02-08 
а) Через фиксированную точку $P$ внутри данной окружности проводятся два перпендикулярных луча, пересекающие окружность в точках $A$ и $B$. Найдите геометрическое место проекций $P$ на прямые $AB$.
б) Через фиксированную точку $P$ внутри данной сферы проводятся три попарно перпендикулярных луча, пересекающие сферу в точках $A, B, C$. Найдите геометрическое место проекций точки $P$ на плоскости $ABC$.
Решение:
а) Пусть $P_1$ - точка, симметричная P относительно прямой $AB, P_2$ - точка, симметричная $P$ относительно середины отрезка $AB$. Тогда треугольники $ABP_1$ и $ABP_2$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$, следовательно, $OP_1 = OP_2$. Так как $APBP_2$ - прямоугольник, то $OA^2 + OB^2 = OP^2 + OP_2^2$, т. е. расстояние $OP^2$ не зависит от выбора лучей $PA, PB$. Следовательно, точки $P_1, P_2$ лежат на окружности с центром $O$, а проекция $P$ на $AB$ - на окружности вдвое меньшего радиуса с центром в середине отрезка $OP$.
б) Достроим пирамиду $PABC$ до прямоугольного параллелепипеда $PAC^{\prime}BCB^{\prime}P^{\prime}A^{\prime}$. Аналогично п. а) получаем, что $OP^{\prime 2} = 3R^2 - 2OP^2$, т. е. точка $P^{\prime}$ лежит на сфере с центром $O$. Так как центр тяжести $M$ треугольника $ABC$ лежит на отрезке $PP^{\prime}$ и делит его в отношении 1 : 2, $M$ лежит на сфере, центром которой является точка, лежащая на отрезке $OP$ и делящая его в отношении 2 : 1. Далее, проекцией $O$ на плоскость $ABC$ является центр $O$ описанной около треугольника $ABC$ окружности, а проекцией $P$ - его ортоцентр $H$. Так как $M$ лежит на отрезке $O^{\prime}H$ и $МН = 2MO^{\prime}$, то $MK = KH$, т. е. искомым ГМT будет сфера с центром $K$ и радиусом равным $\sqrt{3R^2 - 20P^2}/3$.
а) Через фиксированную точку $P$ внутри данной окружности проводятся два перпендикулярных луча, пересекающие окружность в точках $A$ и $B$. Найдите геометрическое место проекций $P$ на прямые $AB$.
б) Через фиксированную точку $P$ внутри данной сферы проводятся три попарно перпендикулярных луча, пересекающие сферу в точках $A, B, C$. Найдите геометрическое место проекций точки $P$ на плоскости $ABC$.
Решение:
а) Пусть $P_1$ - точка, симметричная P относительно прямой $AB, P_2$ - точка, симметричная $P$ относительно середины отрезка $AB$. Тогда треугольники $ABP_1$ и $ABP_2$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$, следовательно, $OP_1 = OP_2$. Так как $APBP_2$ - прямоугольник, то $OA^2 + OB^2 = OP^2 + OP_2^2$, т. е. расстояние $OP^2$ не зависит от выбора лучей $PA, PB$. Следовательно, точки $P_1, P_2$ лежат на окружности с центром $O$, а проекция $P$ на $AB$ - на окружности вдвое меньшего радиуса с центром в середине отрезка $OP$.
б) Достроим пирамиду $PABC$ до прямоугольного параллелепипеда $PAC^{\prime}BCB^{\prime}P^{\prime}A^{\prime}$. Аналогично п. а) получаем, что $OP^{\prime 2} = 3R^2 - 2OP^2$, т. е. точка $P^{\prime}$ лежит на сфере с центром $O$. Так как центр тяжести $M$ треугольника $ABC$ лежит на отрезке $PP^{\prime}$ и делит его в отношении 1 : 2, $M$ лежит на сфере, центром которой является точка, лежащая на отрезке $OP$ и делящая его в отношении 2 : 1. Далее, проекцией $O$ на плоскость $ABC$ является центр $O$ описанной около треугольника $ABC$ окружности, а проекцией $P$ - его ортоцентр $H$. Так как $M$ лежит на отрезке $O^{\prime}H$ и $МН = 2MO^{\prime}$, то $MK = KH$, т. е. искомым ГМT будет сфера с центром $K$ и радиусом равным $\sqrt{3R^2 - 20P^2}/3$.
