Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2134
2019-02-08 
Пусть $ABCD$ - выпуклый четырёхугольник, $G$ - центр тяжести его как однородной пластины (т. е. точка пересечения двух прямых, каждая из которых соединяет центроиды треугольников, имеющих общую диагональ).
а) Пусть около $ABCD$ можно описать окружность с центром в $O$. Tочку $H$ определим аналогично $G$, взяв вместо центроидов ортоцентры. Докажите, что точки $H, G, O$ лежат на одной прямой и $HG : GO = 2:1$.
б) Пусть в $ABCD$ можно вписать окружность с центром в $I$. Точкой Нагеля $N$ описанного четырёхугольника назовём точку пересечения двух прямых, каждая из которых проходит через точки на противоположных сторонах четырёхугольника, симметричные точкам касания вписанной окружности относительно середин сторон. (Эти прямые делят периметр четырёхугольника пополам). Докажите, что $N, G, I$ лежат на одной прямой, причём $NG : GI = 2 : 1$.
Решение:
а) Пусть $MA$ и $HA$ - соответственно центроид и ортоцентр треугольника BCD. Центроиды и ортоцентры остальных трёх треугольников обозначим аналогично. Bсе треугольники имеют общую описанную окружность с центром в $O$. Рассмотрев прямые Эйлера этих треугольников, заметим, что четырёхугольник $M_aM_bM_cM_d$ переходит в четырёхугольник $H_aH_bH_cH_d$ при гомотетии с центром в $O$ и коэффициентом 3. Соответственно точки пересечения диагоналей этих четырёхугольников переходят друг в друга.
б) Обозначим через $M_1$ центр тяжести периметра четырёхугольника. Tочка $G$ лежит на отрезке $IM_1$ и делит его в отношении 2 : 1.
Действительно, $M_1$ - это центр тяжести четырёх точек, помещённых в середины сторон четырёхугольника с массами, пропорциональными их длинам, а $G$ - центр тяжести четырёх точек, помещённых в центрах тяжести треугольников $IAB, IBC, ICD, IDA$ с массами, пропорциональными площадям этих треугольников. Очевидно, две этих системы точек гомотетичны с центром $I$ и коэффициентом 2/3.
Пусть $а, b, c, d$ - длины касательных к вписанной окружности из вершин $A, B, C, D$. Очевидно, что, если поместить в $A, B, C, D$ массы $a, b, c, d$, то центром тяжести полученной системы будет точка $N$, а, если поместить в вершины массы $2a + b + d, 2b + a + c, 2c + b + d, 2d + c + a$, то - точка $M_1$. Oсталось показать, что $I$ - центр тяжести масс $b + d, а + c, b + d, a + c$.
Tочка $I$ удовлетворяет соотношению $S_{IAB} - S_{IBC} + S_{ICD} - S_{IDA} = 0$. Этому же соотношению удовлетворяют середины $U$ и $V$ диагоналей четырёхугольника. Следовательно, эти три точки лежат на одной прямой (это утверждение называется теоремой Монжа). Пусть теперь $X, Y$ - точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AD$. Тогда прямая $XY$ образует равные углы с этими сторонами и по теореме Брианшона проходит через точку $L$ пересечения диагоналей. Применив теорему синусов к треугольникам $LXB$ и $LYD$, получим, что $BL/DL = b/d$. Аналогично, $AL/CL = a/c$. Отсюда и из соотношений
$\frac{S_{UBC}}{S_{UAD}} = \frac{BL}{DL}, \frac{S_{VBC}}{S_{VAD}} = \frac{CL}{AL}, \frac{S_{UBC}}{S_{UAD}} = \frac{b+c}{a+d}$
вытекает, что $l$ делит отрезок $AC$ в отношении $(a + c)/(b + d)$, что и требуется.
Пусть $ABCD$ - выпуклый четырёхугольник, $G$ - центр тяжести его как однородной пластины (т. е. точка пересечения двух прямых, каждая из которых соединяет центроиды треугольников, имеющих общую диагональ).
а) Пусть около $ABCD$ можно описать окружность с центром в $O$. Tочку $H$ определим аналогично $G$, взяв вместо центроидов ортоцентры. Докажите, что точки $H, G, O$ лежат на одной прямой и $HG : GO = 2:1$.
б) Пусть в $ABCD$ можно вписать окружность с центром в $I$. Точкой Нагеля $N$ описанного четырёхугольника назовём точку пересечения двух прямых, каждая из которых проходит через точки на противоположных сторонах четырёхугольника, симметричные точкам касания вписанной окружности относительно середин сторон. (Эти прямые делят периметр четырёхугольника пополам). Докажите, что $N, G, I$ лежат на одной прямой, причём $NG : GI = 2 : 1$.
Решение:
а) Пусть $MA$ и $HA$ - соответственно центроид и ортоцентр треугольника BCD. Центроиды и ортоцентры остальных трёх треугольников обозначим аналогично. Bсе треугольники имеют общую описанную окружность с центром в $O$. Рассмотрев прямые Эйлера этих треугольников, заметим, что четырёхугольник $M_aM_bM_cM_d$ переходит в четырёхугольник $H_aH_bH_cH_d$ при гомотетии с центром в $O$ и коэффициентом 3. Соответственно точки пересечения диагоналей этих четырёхугольников переходят друг в друга.
б) Обозначим через $M_1$ центр тяжести периметра четырёхугольника. Tочка $G$ лежит на отрезке $IM_1$ и делит его в отношении 2 : 1.
Действительно, $M_1$ - это центр тяжести четырёх точек, помещённых в середины сторон четырёхугольника с массами, пропорциональными их длинам, а $G$ - центр тяжести четырёх точек, помещённых в центрах тяжести треугольников $IAB, IBC, ICD, IDA$ с массами, пропорциональными площадям этих треугольников. Очевидно, две этих системы точек гомотетичны с центром $I$ и коэффициентом 2/3.
Пусть $а, b, c, d$ - длины касательных к вписанной окружности из вершин $A, B, C, D$. Очевидно, что, если поместить в $A, B, C, D$ массы $a, b, c, d$, то центром тяжести полученной системы будет точка $N$, а, если поместить в вершины массы $2a + b + d, 2b + a + c, 2c + b + d, 2d + c + a$, то - точка $M_1$. Oсталось показать, что $I$ - центр тяжести масс $b + d, а + c, b + d, a + c$.
Tочка $I$ удовлетворяет соотношению $S_{IAB} - S_{IBC} + S_{ICD} - S_{IDA} = 0$. Этому же соотношению удовлетворяют середины $U$ и $V$ диагоналей четырёхугольника. Следовательно, эти три точки лежат на одной прямой (это утверждение называется теоремой Монжа). Пусть теперь $X, Y$ - точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AD$. Тогда прямая $XY$ образует равные углы с этими сторонами и по теореме Брианшона проходит через точку $L$ пересечения диагоналей. Применив теорему синусов к треугольникам $LXB$ и $LYD$, получим, что $BL/DL = b/d$. Аналогично, $AL/CL = a/c$. Отсюда и из соотношений
$\frac{S_{UBC}}{S_{UAD}} = \frac{BL}{DL}, \frac{S_{VBC}}{S_{VAD}} = \frac{CL}{AL}, \frac{S_{UBC}}{S_{UAD}} = \frac{b+c}{a+d}$
вытекает, что $l$ делит отрезок $AC$ в отношении $(a + c)/(b + d)$, что и требуется.
