Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2131
2019-02-08 
Даны четыре точки $A, B, C, D$. Tочки $A_1, B_1, C_1, D_1$ - ортоцентры треугольников $BCD, CDA, DAB, ABC$. Tочки $A_2, B_2, C_2, D_2$ - ортоцентры треугольников $B_1C_1D_1, C_1D_1A_1, D_1A_1B_1, A_1B_1C_1$ и т. д. Докажите, что все окружности, проходящие через середины сторон таких треугольников, пересекаются в одной точке.
Решение:
Докажем сначала, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников $ABC, BCD, CDA$ и $DAB$, пересекаются в одной точке. Пусть $X$ - точка пересечения окружностей 9 точек треугольников $ACD$ и $BCD$, отличная от середины $AB; Y, Z, U$ - середины $AC, BC, CD$. Тогда
$\angle YXZ = \angle YXU + \angle XUZ = \angle DCA + \angle BDC = \angle BCD$,
т. е. $X$ лежит на окружности 9 точек треугольника $ABC$. Аналогично, $X$ лежит и на окружности 9 точек треугольника $ABD$. Далее, так как окружности 9 точек треугольников $CDA$ и $ACB_1$ совпадают, точка $X$ лежит также на окружностях 9 точек треугольников $ABB_1$ и $CBB_1$. Аналогично она лежит на окружностях 9 точек треугольников $ABA_1$ и $BCC_1$, а, значит, и на окружностях 9 точек треугольников $A_1B_1B, BB_1C_1$ и $A_1B_1C_1$, откуда и следует утверждение задачи.
Более короткое решение можно получить, используя следующий факт.
Пусть точки $U, V, W$ лежат на равносторонней гиперболе. Тогда ортоцентр треугольника $UVW$ также лежит на этой гиперболе, а его окружность 9 точек проходит через её центр.
Действительно, проведя равностороннюю гиперболу через точки $A, B, C, D$, получим, что все окружности проходят через её центр.
Даны четыре точки $A, B, C, D$. Tочки $A_1, B_1, C_1, D_1$ - ортоцентры треугольников $BCD, CDA, DAB, ABC$. Tочки $A_2, B_2, C_2, D_2$ - ортоцентры треугольников $B_1C_1D_1, C_1D_1A_1, D_1A_1B_1, A_1B_1C_1$ и т. д. Докажите, что все окружности, проходящие через середины сторон таких треугольников, пересекаются в одной точке.
Решение:
Докажем сначала, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников $ABC, BCD, CDA$ и $DAB$, пересекаются в одной точке. Пусть $X$ - точка пересечения окружностей 9 точек треугольников $ACD$ и $BCD$, отличная от середины $AB; Y, Z, U$ - середины $AC, BC, CD$. Тогда
$\angle YXZ = \angle YXU + \angle XUZ = \angle DCA + \angle BDC = \angle BCD$,
т. е. $X$ лежит на окружности 9 точек треугольника $ABC$. Аналогично, $X$ лежит и на окружности 9 точек треугольника $ABD$. Далее, так как окружности 9 точек треугольников $CDA$ и $ACB_1$ совпадают, точка $X$ лежит также на окружностях 9 точек треугольников $ABB_1$ и $CBB_1$. Аналогично она лежит на окружностях 9 точек треугольников $ABA_1$ и $BCC_1$, а, значит, и на окружностях 9 точек треугольников $A_1B_1B, BB_1C_1$ и $A_1B_1C_1$, откуда и следует утверждение задачи.
Более короткое решение можно получить, используя следующий факт.
Пусть точки $U, V, W$ лежат на равносторонней гиперболе. Тогда ортоцентр треугольника $UVW$ также лежит на этой гиперболе, а его окружность 9 точек проходит через её центр.
Действительно, проведя равностороннюю гиперболу через точки $A, B, C, D$, получим, что все окружности проходят через её центр.
