Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2130
2019-02-08 
Через середины сторон треугольника $T$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам противолежащих углов треугольника. Эти прямые образовали треугольник $T_{1}$. Докажите, что центр описанной около $T_{1}$ окружности находится в середине отрезка, образованного центром вписанной окружности и точкой пересечения высот треугольника $T$.
Решение:
Стороны треугольника $T_{1}$ являются внешними биссектрисами углов треугольника $T_{0}$, образованного средними линиями $T$, и значит, пересекаются в центрах его вневписанных окружностей. При этом биссектрисы внутренних углов $T_{0}$ являются высотами $T_{1}$, т.е. его центр вписанной окружности $I_{0}$ совпадает с ортоцентром $T_{1}$, а $O_{0}$ — центр описанной окружности — является центром окружности, проходящей через середины $T_{1}$, и, значит, серединой отрезка $I_{0}O_{1}$, где $O_{1}$ - центр описанной окружности $T_{1}$. Кроме того, $O_{0}$ - середина отрезка $OH$, где $O, H$ — центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $T$, а центр тяжести $T M$ делит отрезок $HO$ в отношении 2 : 1 (рис.). Гомотетия с центром $I_{0}$ и коэффициентом 1/3 переводит центр $I$ вписанной окружности $T$ в $M$, а гомотетия с центром $O_{0}$ и коэффициентом -3 переводит $M$ в $H$. Так как композиция этих гомотетий есть центральная симметрия с центром $O_{1}, O_{1}$ - середина$IH$.
Через середины сторон треугольника $T$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам противолежащих углов треугольника. Эти прямые образовали треугольник $T_{1}$. Докажите, что центр описанной около $T_{1}$ окружности находится в середине отрезка, образованного центром вписанной окружности и точкой пересечения высот треугольника $T$.
Решение:
Стороны треугольника $T_{1}$ являются внешними биссектрисами углов треугольника $T_{0}$, образованного средними линиями $T$, и значит, пересекаются в центрах его вневписанных окружностей. При этом биссектрисы внутренних углов $T_{0}$ являются высотами $T_{1}$, т.е. его центр вписанной окружности $I_{0}$ совпадает с ортоцентром $T_{1}$, а $O_{0}$ — центр описанной окружности — является центром окружности, проходящей через середины $T_{1}$, и, значит, серединой отрезка $I_{0}O_{1}$, где $O_{1}$ - центр описанной окружности $T_{1}$. Кроме того, $O_{0}$ - середина отрезка $OH$, где $O, H$ — центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $T$, а центр тяжести $T M$ делит отрезок $HO$ в отношении 2 : 1 (рис.). Гомотетия с центром $I_{0}$ и коэффициентом 1/3 переводит центр $I$ вписанной окружности $T$ в $M$, а гомотетия с центром $O_{0}$ и коэффициентом -3 переводит $M$ в $H$. Так как композиция этих гомотетий есть центральная симметрия с центром $O_{1}, O_{1}$ - середина$IH$.
