Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2129
2019-02-08 
Через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены две перпендикулярные прямые, одна из которых пересекает $BC$ в точке $X$, а другая пересекает $AC$ в точке $Y$. Прямые $AZ, BZ$ параллельны соответственно прямым $HX$ и $HY$. Докажите, что точки $X, Y, Z$ лежат на одной прямой.
Решение:
Рассмотрим для определённости случай, изображённый на рис. Пусть $U$ - точка пересечения $HX$ и $BZ$, $V$ - точка пересечения $HY$ и $AZ$. Тогда утверждение задачи равносильно равенству
$\frac{HU}{UX} = \frac{YV}{HV}$ или $\frac{HU}{YV} = \frac{HV}{UX}$.
В прямоугольных треугольниках $AYV$ и $BUH$ углы $AYV$ и $BUH$ равны, так как их стороны перпендикулярны. Следовательно, треугольники подобны и
$\frac{HU}{YV} = \frac{BU}{AV}$. Аналогично, $\frac{HV}{UX} = \frac{BU}{AV}$.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены две перпендикулярные прямые, одна из которых пересекает $BC$ в точке $X$, а другая пересекает $AC$ в точке $Y$. Прямые $AZ, BZ$ параллельны соответственно прямым $HX$ и $HY$. Докажите, что точки $X, Y, Z$ лежат на одной прямой.
Решение:
Рассмотрим для определённости случай, изображённый на рис. Пусть $U$ - точка пересечения $HX$ и $BZ$, $V$ - точка пересечения $HY$ и $AZ$. Тогда утверждение задачи равносильно равенству
$\frac{HU}{UX} = \frac{YV}{HV}$ или $\frac{HU}{YV} = \frac{HV}{UX}$.
В прямоугольных треугольниках $AYV$ и $BUH$ углы $AYV$ и $BUH$ равны, так как их стороны перпендикулярны. Следовательно, треугольники подобны и
$\frac{HU}{YV} = \frac{BU}{AV}$. Аналогично, $\frac{HV}{UX} = \frac{BU}{AV}$.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
