Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2128
2019-02-08 
B двух окружностях, пересекающихся в точках $A$ и $B$, проведены параллельные хорды $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Прямые $AA_1$ и $BB_2$ пересекаются в точке $X$, а прямые $AA_2$ и $BB_1$ - в точке $Y$. Докажите, что $XY \parallel A_1B_1$.
Решение:
Утверждение задачи равносильно тому, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности, т. е. $\angle XAY = \angle XBY$. Но
$\angle XAY = \angle BAA_2 - \angle BAX = \angle BAA_2 - \angle BB_1A_1$,
$\angle XBY = \angle B_2BA - \angle AA_1B_1$.
При этом из параллельности $A_1B_1$ и $A_2B_2$ следует, что
$\angle ABB_1 + \angle A_1B_1B = \angle BAA_2 + \angle B_2A_2A$,
откуда, очевидно, и вытекает искомое утверждение (рис.).
B двух окружностях, пересекающихся в точках $A$ и $B$, проведены параллельные хорды $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Прямые $AA_1$ и $BB_2$ пересекаются в точке $X$, а прямые $AA_2$ и $BB_1$ - в точке $Y$. Докажите, что $XY \parallel A_1B_1$.
Решение:
Утверждение задачи равносильно тому, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности, т. е. $\angle XAY = \angle XBY$. Но
$\angle XAY = \angle BAA_2 - \angle BAX = \angle BAA_2 - \angle BB_1A_1$,
$\angle XBY = \angle B_2BA - \angle AA_1B_1$.
При этом из параллельности $A_1B_1$ и $A_2B_2$ следует, что
$\angle ABB_1 + \angle A_1B_1B = \angle BAA_2 + \angle B_2A_2A$,
откуда, очевидно, и вытекает искомое утверждение (рис.).
