Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2127
2019-02-08 
На сторонах треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Oказалось, что их вершины образуют правильный треугольник. Верно ли, что исходный треугольник - правильный?
Решение:
Предположим противное. Тогда один из углов треугольника $ABC$, например, $\angle A > 60^{\circ}$. Тогда луч $B^{\prime}C$ лежит вне угла $ABC$, а так как $\angle A^{\prime}B^{\prime}C = \angle ABC = 60^{\circ}$, луч $B^{\prime}A^{\prime}$ лежит внутри этого угла, и значит, луч $A^{\prime}B^{\prime}$ лежит внутри угла $B^{\prime}AC$ (рис.). Аналогично, луч $A^{\prime}C^{\prime}$ лежит внутри этого угла, что противоречит равенству $\angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime} = \angle BA^{\prime}C = 60^{\circ}$.
Ответ. Верно.
На сторонах треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Oказалось, что их вершины образуют правильный треугольник. Верно ли, что исходный треугольник - правильный?
Решение:
Предположим противное. Тогда один из углов треугольника $ABC$, например, $\angle A > 60^{\circ}$. Тогда луч $B^{\prime}C$ лежит вне угла $ABC$, а так как $\angle A^{\prime}B^{\prime}C = \angle ABC = 60^{\circ}$, луч $B^{\prime}A^{\prime}$ лежит внутри этого угла, и значит, луч $A^{\prime}B^{\prime}$ лежит внутри угла $B^{\prime}AC$ (рис.). Аналогично, луч $A^{\prime}C^{\prime}$ лежит внутри этого угла, что противоречит равенству $\angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime} = \angle BA^{\prime}C = 60^{\circ}$.
Ответ. Верно.
