Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2126
2019-02-08 
Oколо треугольника $ABC$ описана окружность и в него же вписана окружность, которая касается сторон $BC, CA, AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Прямая $B_1C_1$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$, а точка $M$ - середина отрезка $PA_1$. Докажите, что отрезки касательных, проведённых из точки $M$ к вписанной и описанной окружностям равны.
Решение:
Пусть $AB < AC$. Так как прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, из теорем Чевы и Менелая получаем, что
$\frac{PB}{PC} = \frac{A_1B}{AC}$.
Kроме того,
$MB = \frac{PB - A_1B}{2}, MC = \frac{PC + A_1C}{2}$,
$MA_1 = \frac{PB + A_1B}{2} = \frac{PC - A_1C}{2}$.
Следовательно,
$\frac{MB}{MA_1} = \frac{MA_1}{MC} = \frac{A_1B}{A_1C}$
что равносильно утверждению задачи.
Oколо треугольника $ABC$ описана окружность и в него же вписана окружность, которая касается сторон $BC, CA, AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Прямая $B_1C_1$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$, а точка $M$ - середина отрезка $PA_1$. Докажите, что отрезки касательных, проведённых из точки $M$ к вписанной и описанной окружностям равны.
Решение:
Пусть $AB < AC$. Так как прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, из теорем Чевы и Менелая получаем, что
$\frac{PB}{PC} = \frac{A_1B}{AC}$.
Kроме того,
$MB = \frac{PB - A_1B}{2}, MC = \frac{PC + A_1C}{2}$,
$MA_1 = \frac{PB + A_1B}{2} = \frac{PC - A_1C}{2}$.
Следовательно,
$\frac{MB}{MA_1} = \frac{MA_1}{MC} = \frac{A_1B}{A_1C}$
что равносильно утверждению задачи.
