Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2125
2019-02-08 
Дана окружность и не лежащая на ней фиксированная точка $P$. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $ABP$, где $AB$ - диаметр окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $C$ - ортоцентр, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - основания высот $ABP$, проведённых из $A, B, P; P^{\prime}$ - проекция $C$ на прямую $OP$ (рис.). Так как
$\angle CC^{\prime} O = \angle CP^{\prime}O = 90^{\circ}$,
точки $O, C, C^{\prime}, P^{\prime}$ лежат на окружности, и $CP \cdot PC^{\prime} = OP \cdot PP^{\prime}$. Аналогично, $CP \cdot PC = BP \cdot PA^{\prime}$. Но $A^{\prime}$ лежит на исходной окружности, следовательно,
$BP \cdot A^{\prime}P = |R^2 - OP^2|$.
Таким образом, произведение $OP \cdot PP^{\prime}$, а значит, и точка $P^{\prime}$, не зависят от выбора диаметра $AB$, т. е. искомым геометрическим местом будет прямая, проходящая через $P^{\prime}$ и перпендикулярная $OP$.
Дана окружность и не лежащая на ней фиксированная точка $P$. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $ABP$, где $AB$ - диаметр окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $C$ - ортоцентр, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - основания высот $ABP$, проведённых из $A, B, P; P^{\prime}$ - проекция $C$ на прямую $OP$ (рис.). Так как
$\angle CC^{\prime} O = \angle CP^{\prime}O = 90^{\circ}$,
точки $O, C, C^{\prime}, P^{\prime}$ лежат на окружности, и $CP \cdot PC^{\prime} = OP \cdot PP^{\prime}$. Аналогично, $CP \cdot PC = BP \cdot PA^{\prime}$. Но $A^{\prime}$ лежит на исходной окружности, следовательно,
$BP \cdot A^{\prime}P = |R^2 - OP^2|$.
Таким образом, произведение $OP \cdot PP^{\prime}$, а значит, и точка $P^{\prime}$, не зависят от выбора диаметра $AB$, т. е. искомым геометрическим местом будет прямая, проходящая через $P^{\prime}$ и перпендикулярная $OP$.
