Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2123
2019-02-08 
B треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ равна полусумме высоты и медианы, проведённых из вершины $A$. Докажите, что если угол $A$ тупой, то $AB = AC$.
Решение:
Предположим, что утверждение задачи неверно. Пусть $H, L, M$ - основания высоты, биссектрисы и медианы, $P$ - середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника, не содержащей точки $A$ (рис.).
Если угол $A$ тупой, то $PM > AH$. Поскольку $L$ лежит на отрезке $AP$, отсюда следует, что $HL < LM$, и значит, отрезок $AL$ меньше медианы треугольника $AHM$, которая, в свою очередь, меньше полусуммы сторон $AH$ и $AM$ - противоречие.
B треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ равна полусумме высоты и медианы, проведённых из вершины $A$. Докажите, что если угол $A$ тупой, то $AB = AC$.
Решение:
Предположим, что утверждение задачи неверно. Пусть $H, L, M$ - основания высоты, биссектрисы и медианы, $P$ - середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника, не содержащей точки $A$ (рис.).
Если угол $A$ тупой, то $PM > AH$. Поскольку $L$ лежит на отрезке $AP$, отсюда следует, что $HL < LM$, и значит, отрезок $AL$ меньше медианы треугольника $AHM$, которая, в свою очередь, меньше полусуммы сторон $AH$ и $AM$ - противоречие.
