Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2122
2019-02-08 
B треугольнике $ABC$ точка $O$ - центр описанной окружности; $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - точки, симметричные $A, B, C$ относительно противоположных сторон; $A_1, B_1, C_1$ - точки пересечения прямых $OA^{\prime}$ и $BC$, $OB^{\prime}$ и $AC$, $OC^{\prime}$ и $AB$. Докажите, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $O_a, O_b, O_c$ - точки, симметричные $O$ относительно $BC, CA, AB$. Очевидно, что прямые $CO_c, OC^{\prime}$ и $AB$ пересекаются в одной точке, так что для решения задачи достаточно доказать, что прямые $AO_a, BO_b$ и $CO_c$ пересекаются в одной точке.
Так как треугольник $O_aO_bO_c$ гомотетичен серединному треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом 2, он центрально симметричен треугольнику $ABC$, и прямые, соединяющие соответствующие вершины этих треугольников, проходят через центр симметрии. Нетрудно также убедиться, что эта точка является для каждого из треугольников центром окружности 9 точек.
B треугольнике $ABC$ точка $O$ - центр описанной окружности; $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - точки, симметричные $A, B, C$ относительно противоположных сторон; $A_1, B_1, C_1$ - точки пересечения прямых $OA^{\prime}$ и $BC$, $OB^{\prime}$ и $AC$, $OC^{\prime}$ и $AB$. Докажите, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $O_a, O_b, O_c$ - точки, симметричные $O$ относительно $BC, CA, AB$. Очевидно, что прямые $CO_c, OC^{\prime}$ и $AB$ пересекаются в одной точке, так что для решения задачи достаточно доказать, что прямые $AO_a, BO_b$ и $CO_c$ пересекаются в одной точке.
Так как треугольник $O_aO_bO_c$ гомотетичен серединному треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом 2, он центрально симметричен треугольнику $ABC$, и прямые, соединяющие соответствующие вершины этих треугольников, проходят через центр симметрии. Нетрудно также убедиться, что эта точка является для каждого из треугольников центром окружности 9 точек.
