ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-02-08   
При каких $n$ правильный n-угольник можно разрезать непересекающимися диагоналями на $n - 2$ равнобедренных (и, возможно, равносторонних) треугольников?


Решение:



Рассмотрим треугольник разбиения $ABC$, содержащий центр (рис.). Если сторона $AB$ не является стороной исходного многоугольника, то отрезает от него многоугольник, в котором наибольшее расстояние между вершинами - длина $AB$. Следовательно, $AB$ должна быть основанием треугольника разбиения, и число отрезаемых ею сторон чётно. Для боковых сторон указанного треугольника можно провести аналогичные рассуждения, следовательно, число сторон, которые отрезает $AB$, есть степень двойки. (Если $AB$ - сторона исходного многоугольника, то она отрезает $2^0$ сторон.) Это верно и для сторон $BC$ и $AC$. Так как в треугольнике $ABC$ хотя бы две стороны равны, то

$n = 2^k + 2^k + 2^l = 2^{k+1} + 2^l$.


Обратно, пусть $n = 2^k + 2^l$, причём $k > 0$. Пусть $A$ - одна из вершин правильного $n$-угольника, а вершины $B$ и $C$ отстоят от неё на $2^{k-1}$ сторон в двух направлениях. Тогда $AB = AC$, и существует разрезание нужного вида, содержащее треугольник $ABC$ (рис.).
Ответ. $n$ должно быть суммой двух степеней двойки, может быть равных (в этом случае само $n$ - степень двойки).