Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2120
2019-02-08 
Пусть прямая $L(\alpha)$ соединяет точки единичной окружности, отвечающие углам $\alpha$ и $\pi - 2\alpha$. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$, то прямые $L(\alpha), L(\beta) и L(\gamma)$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $A, B, C$ - точки окружности, соответствующие углам $\alpha, \beta, \gamma$. Перпендикуляр из центра окружности к прямой $AB$ пересекает окружность в точке, соответствующей углу $(\alpha+\beta)/2 = \pi - \gamma/2$, а перпендикуляр к прямой $L(\gamma)$ - в точке, соответствующей углу $(\gamma + \pi - 2\gamma)/2 = \pi/2 - \gamma/2$. Следовательно, $L(\gamma)$ - высота треугольника $ABC$. Аналогично, $L(\alpha), L(\beta)$ - высоты $ABC$, и значит, все три прямые пересекаются в его ортоцентре.
Пусть прямая $L(\alpha)$ соединяет точки единичной окружности, отвечающие углам $\alpha$ и $\pi - 2\alpha$. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$, то прямые $L(\alpha), L(\beta) и L(\gamma)$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $A, B, C$ - точки окружности, соответствующие углам $\alpha, \beta, \gamma$. Перпендикуляр из центра окружности к прямой $AB$ пересекает окружность в точке, соответствующей углу $(\alpha+\beta)/2 = \pi - \gamma/2$, а перпендикуляр к прямой $L(\gamma)$ - в точке, соответствующей углу $(\gamma + \pi - 2\gamma)/2 = \pi/2 - \gamma/2$. Следовательно, $L(\gamma)$ - высота треугольника $ABC$. Аналогично, $L(\alpha), L(\beta)$ - высоты $ABC$, и значит, все три прямые пересекаются в его ортоцентре.
