Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2117
2019-02-08 
а) Дан отрезок $AB$ с точкой $C$ внутри него, являющийся хордой окружности радиуса $R$. Bпишите в образовавшийся сегмент окружность, которая проходит через точку $C$ и касается исходной окружности.
б) Дан отрезок $AB$ с точкой $D$ внутри него, являющейся точкой касания окружности радиуса $г$. Проведите через $A$ и $B$ окружность, касающуюся исходной окружности.
Решение:
Докажем сначала следующий факт.
Лемма. Пусть окружность, вписанная в сегмент, ограниченный дугой и хордой $AB$, касается дуги в точке $X$, а хорды в точке $C$. Тогда $XC$ - биссектриса угла $AXB$.
Доказательство. Пусть $O$ - центр большой окружности, $O^{\prime}$ - центр малой, $L$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $X$ (рис.). Так как $O^{\prime}$ лежит на отрезке $OX$, а $O^{\prime}C \parallel OL$, равнобедренные треугольники $O^{\prime}CX$ и $OLX$ подобны. Следовательно, $C$ лежит на отрезке $XL$ и прямая $XC$ делит угол $AXB$ пополам.
Теперь приведём решение задачи.
а) Пусть искомая окружность касается данной в точке $X$. Из леммы следует, что $AX/XB = AC/CB$. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, - это окружность с центром на прямой $AB$ (она называется окружностью Аполлония точек $A$ и $B$). Возьмём любую из точек пересечения окружности Аполлония с данной, соединим её с центром данной окружности и найдём точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, восставленным из $C$ к $AB$. Получим центр искомой окружности. Задача имеет два решения, так как окружность можно вписать в любой из двух сегментов, на которые хорда $AB$ делит данный круг.
б) Аналогично п. а) построим окружность Аполлония и найдём отличную от $X$ точку её пересечения с данной окружностью. Искомая окружность проходит через эту точку и точки $A, B$. Задача имеет единственное решение.
а) Дан отрезок $AB$ с точкой $C$ внутри него, являющийся хордой окружности радиуса $R$. Bпишите в образовавшийся сегмент окружность, которая проходит через точку $C$ и касается исходной окружности.
б) Дан отрезок $AB$ с точкой $D$ внутри него, являющейся точкой касания окружности радиуса $г$. Проведите через $A$ и $B$ окружность, касающуюся исходной окружности.
Решение:
Докажем сначала следующий факт.
Лемма. Пусть окружность, вписанная в сегмент, ограниченный дугой и хордой $AB$, касается дуги в точке $X$, а хорды в точке $C$. Тогда $XC$ - биссектриса угла $AXB$.
Доказательство. Пусть $O$ - центр большой окружности, $O^{\prime}$ - центр малой, $L$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $X$ (рис.). Так как $O^{\prime}$ лежит на отрезке $OX$, а $O^{\prime}C \parallel OL$, равнобедренные треугольники $O^{\prime}CX$ и $OLX$ подобны. Следовательно, $C$ лежит на отрезке $XL$ и прямая $XC$ делит угол $AXB$ пополам.
Теперь приведём решение задачи.
а) Пусть искомая окружность касается данной в точке $X$. Из леммы следует, что $AX/XB = AC/CB$. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, - это окружность с центром на прямой $AB$ (она называется окружностью Аполлония точек $A$ и $B$). Возьмём любую из точек пересечения окружности Аполлония с данной, соединим её с центром данной окружности и найдём точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, восставленным из $C$ к $AB$. Получим центр искомой окружности. Задача имеет два решения, так как окружность можно вписать в любой из двух сегментов, на которые хорда $AB$ делит данный круг.
б) Аналогично п. а) построим окружность Аполлония и найдём отличную от $X$ точку её пересечения с данной окружностью. Искомая окружность проходит через эту точку и точки $A, B$. Задача имеет единственное решение.
