2014-06-07
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = AD$ и $CB = CD$. Доказать, что:
а) в него можно вписать окружность;
б) около него можно описать окружность тогда и только тогда, когда $AB \perp BC$;
в) если $AB \perp BC$, то квадрат расстояния между центром вписанной окружности (радиуса $r$) и центром описанной окружности (радиуса $R$) равен
$R^{2} + r^{2} – r \sqrt{r^{2}+4R^{2}}$.
Решение:
а) По условию задачи
$AB + CD = AD + BC$,
поэтому в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует, что $\angle B= \angle D$. Поэтому около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда
$\angle B = (1/2)(\angle B + \angle D) = 180^{\circ}/2 = 90^{\circ}$,
т. е. когда $\angle B = 90^{\circ}$ и $AB \perp BC$.
в) Пусть вписанная окружность с центром $N$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $N_{1}$ и $N_{2}$ соответственно, а проекциями центра $M$ описанной окружности на стороны $AB$ и $BC$ являются их середины $M_{1}$ и $M_{2}$ (рис.; заметим, что точки $N$ и $M$ лежат на оси симметрии $AC$ четырехугольника $ABCD$). Обозначим $AB = x, BC = y$, тогда из подобия треугольников $AN_{1}N$ и $ABC$ имеем
$\frac{x}{y} = \frac{}{} = \frac{}{} = \frac{}{}$, т. е. $xy = r(x+y)$.
Далее, учитывая равенства $x^{2} + y^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AC^{2} = (2R)^{2}$ получаем
$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=4R^{2}+2r(x+y)$,
откуда
$x+y = r + \sqrt{r^{2}+4R^{2}}$.
Наконец, из свойств проекций имеем
$NM^{2} = N_{1}M_{1}^{2} + N_{2}M_{2}^{2} = (BN_{1} – AB /2)^{2} + (BN_{2} –BC/2)^{2} =$
$= (r – x/2)^{2} + (r - y/2)^{2} = (x^{2} + y^{2})/4 - r(x + y) + 2r^{2} = R^{2} - r (r + \sqrt{r^{2} + 4 R^{2}}) + 2r^{2} = R^{2} + r^{2} – r \sqrt{r^{2}+4R^{2}}$,
что и требовалось доказать.
Замечание. Равенство п. в) справедливо для любого четырехугольника, являющегося одновременно вписанным и описанным.