ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-02-08   
B треугольнике $ABC \angle A = \alpha, BC = a$. Bписанная окружность касается прямых $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $P$. Найти длину хорды, высекаемой на прямой $MP$ окружностью с диаметром $BC$.


Решение:



Первое решение. Расстояние от центра окружности до хорды равно полусумме расстояний от точек $B$ и $C$ до прямой $MP$ (рис.), т. е.

$\frac{1}{2}(BM \sin \angle AMP + CP \sin \angle APM) = \frac{1}{2}(BM + CP) \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$.

Соответственно, длина хорды равна $a \sin \frac{\alpha}{2}$.

Второе решение. Пусть $I$ - центр вписанной окружности треугольника, $X, Y$ - точки пересечения прямых $BI, CI$ с прямой $MP$. Тогда

$\angle MXB = \angle AMP - \angle MBX = \frac{\angle C}{2}$.

Следовательно, треугольники $BXM$ и $BCI$ подобны, т. е.

$\frac{BX}{BC} = \frac{BM}{BI} = \cos \frac{\angle B}{2}$.


Это значит, что угол $BXC$ прямой (рис.).

Аналогично, угол $BYC$ прямой. Следовательно, искомая хорда

$XY = BC \sin \angle XCY = a \sin \frac{\alpha}{2}$.