Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2108
2019-02-08 
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон $ABCD$ пропорциональны этим сторонам. Доказать, что $K$ - точка пересечения диагоналей $ABCD$.
Решение:
Первое решение. Пусть $U$ - точка пересечения касательных к окружности $ABCD$ в точках $A$ и $C, X, Y$ - проекции $U$ на $AB$ и $BC$. Тогда
$\frac{UX}{UY} = \frac{\sin \angle UAX}{\sin \angle UCY} = \frac{\sin \angle BCA}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{BC}$,
т. е. $K$ лежит на прямой $UB$. Аналогично, $K$ лежит на прямой $UD$, и, если эти прямые не совпадают, то $K = U$. Tочно так же доказывается, что, если не совпадают прямые $AV$ и $CV$, где $V$ - точка пересечения касательных в точках $B$ и $D$, то $K = V$, что невозможно. Будем считать, что на одной прямой лежат точки $B, D, U$. Tогда $AB/AD = AU/UD = CU/UD = BC/CD$ и точки $A, C, V$ также лежат на одной прямой. Тледовательно, $K$ - точка пересечения $AC$ и $BD$.
Второе решение. Множество точек, расстояния от которых до прямых $AB$ и $CD$ пропорциональны соответствующим сторонам, - это прямая, проходящая через точку пересечения $AB$ и $CD$. Так как $ABCD$ вписанный, треугольники $LAB$ и $LCD$, где $L$ - точка пересечения диагоналей, подобны, т. е. $L$ лежит на указанной прямой. Аналогично, $L$ лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с $K$.
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон $ABCD$ пропорциональны этим сторонам. Доказать, что $K$ - точка пересечения диагоналей $ABCD$.
Решение:
Первое решение. Пусть $U$ - точка пересечения касательных к окружности $ABCD$ в точках $A$ и $C, X, Y$ - проекции $U$ на $AB$ и $BC$. Тогда
$\frac{UX}{UY} = \frac{\sin \angle UAX}{\sin \angle UCY} = \frac{\sin \angle BCA}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{BC}$,
т. е. $K$ лежит на прямой $UB$. Аналогично, $K$ лежит на прямой $UD$, и, если эти прямые не совпадают, то $K = U$. Tочно так же доказывается, что, если не совпадают прямые $AV$ и $CV$, где $V$ - точка пересечения касательных в точках $B$ и $D$, то $K = V$, что невозможно. Будем считать, что на одной прямой лежат точки $B, D, U$. Tогда $AB/AD = AU/UD = CU/UD = BC/CD$ и точки $A, C, V$ также лежат на одной прямой. Тледовательно, $K$ - точка пересечения $AC$ и $BD$.
Второе решение. Множество точек, расстояния от которых до прямых $AB$ и $CD$ пропорциональны соответствующим сторонам, - это прямая, проходящая через точку пересечения $AB$ и $CD$. Так как $ABCD$ вписанный, треугольники $LAB$ и $LCD$, где $L$ - точка пересечения диагоналей, подобны, т. е. $L$ лежит на указанной прямой. Аналогично, $L$ лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с $K$.
