Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2107
2019-02-08 
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, причём B лежит на отрезке $OC, A$ - на отрезке $OD$. $I$ - центр вписанной в треугольник $OAB$ окружности, $J$ - центр вневписанной в треугольник $OCD$ окружности, касающейся стороны $CD$ и продолжения двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка $IJ$ на прямые $BC$ и $AD$, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках $X$ и $Y$. Доказать, что отрезок $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и с концами на $BC$ и $AD XY$ имеет наименьшую длину.
Решение:
Используя тот факт, что отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны, несложно показать, что отрезок $X^{\prime}Y^{\prime}$ с концами на сторонах $AD$ и $BC$ делит периметр пополам тогда и только тогда, когда $OX^{\prime} + OY^{\prime} = l$, где $l$ - постоянная величина, равная удвоенному отрезку соответствующей касательной плюс полупериметр четырёхугольника.
Пусть $M$ - середина $IJ$. Так же просто проверяется, что
$OX + OY = l$.
Тогда треугольники $MXX^{\prime}$ и $MYY^{\prime}$ равны, а следовательно, треугольники $MXY$ и $MX^{\prime}Y^{\prime}$ подобны по двум углам. Значит, $X^{\prime}Y^{\prime}$ минимально, когда минимально $MX^{\prime}$, т. е. когда $X^{\prime}$ совпадает с $X$ (рис.).
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, причём B лежит на отрезке $OC, A$ - на отрезке $OD$. $I$ - центр вписанной в треугольник $OAB$ окружности, $J$ - центр вневписанной в треугольник $OCD$ окружности, касающейся стороны $CD$ и продолжения двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка $IJ$ на прямые $BC$ и $AD$, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках $X$ и $Y$. Доказать, что отрезок $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и с концами на $BC$ и $AD XY$ имеет наименьшую длину.
Решение:
Используя тот факт, что отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны, несложно показать, что отрезок $X^{\prime}Y^{\prime}$ с концами на сторонах $AD$ и $BC$ делит периметр пополам тогда и только тогда, когда $OX^{\prime} + OY^{\prime} = l$, где $l$ - постоянная величина, равная удвоенному отрезку соответствующей касательной плюс полупериметр четырёхугольника.
Пусть $M$ - середина $IJ$. Так же просто проверяется, что
$OX + OY = l$.
Тогда треугольники $MXX^{\prime}$ и $MYY^{\prime}$ равны, а следовательно, треугольники $MXY$ и $MX^{\prime}Y^{\prime}$ подобны по двум углам. Значит, $X^{\prime}Y^{\prime}$ минимально, когда минимально $MX^{\prime}$, т. е. когда $X^{\prime}$ совпадает с $X$ (рис.).
