Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2106
2019-02-08 
$A_1, B_1, C_1$ - середины сторон правильного треугольника $ABC$. Три параллельные прямые, проходящие через $A_1, B_1, C_1$, пересекают прямые $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ в точках $A_2, B_2, C_2$ соответственно. Доказать, что прямые $AA_2, BB_2, CC_2$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Решение:
Пусть $Z$ - точка пересечения $AA_2$ и $BB_2$. Так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $A_1 C_1$,
$\angle ABZ = \angle C_1BB_2 = \angle B_2B_1C_1$.
Аналогично $\angle BAZ = \angle A_2A_1C_1$. Так как прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны, $\angle A_2A_1C_1 = \angle B_1B_2C_1$, следовательно, $\angle AZB = \angle ACB$ и точки $A, B, C, Z$ лежат на одной окружности, откуда и следует утверждение задачи (рис.).
$A_1, B_1, C_1$ - середины сторон правильного треугольника $ABC$. Три параллельные прямые, проходящие через $A_1, B_1, C_1$, пересекают прямые $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ в точках $A_2, B_2, C_2$ соответственно. Доказать, что прямые $AA_2, BB_2, CC_2$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Решение:
Пусть $Z$ - точка пересечения $AA_2$ и $BB_2$. Так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $A_1 C_1$,
$\angle ABZ = \angle C_1BB_2 = \angle B_2B_1C_1$.
Аналогично $\angle BAZ = \angle A_2A_1C_1$. Так как прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны, $\angle A_2A_1C_1 = \angle B_1B_2C_1$, следовательно, $\angle AZB = \angle ACB$ и точки $A, B, C, Z$ лежат на одной окружности, откуда и следует утверждение задачи (рис.).
