Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2105
2019-02-08 
Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC, X$ - произвольная точка. Окружность с диаметром $XH$ вторично пересекает прямые $AH, BH, CH$ в точках $A_1, B_1, C_1$, а прямые $AX, BX, CX$ в точках $A_2, B_2, C_2$. Доказать, что прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Рассмотрим для определённости случай, когда точки расположены на окружности в порядке $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$. Пусть $XH = d$. Тогда
$A_1B_2 = d \sin \angle A_1HB_2 = d \sin \angle XBC$,
так как $HA_1$ перпендикулярно $BC$, а $HB_2$ перпендикулярно $BX$. Следовательно,
$\frac{A_1B_2 \cdot C_1A_2 \cdot B_1C_2}{A_2B_1 \cdot C_2A_1 \cdot B_2C_1} = \frac{\sin \angle XBC \cdot \sin \angle XCA \cdot \sin \angle XAB}{\sin \angle XAC \cdot \sin \angle XCB \cdot \sin \angle XBA} = 1$,
что равносильно утверждению задачи (рис.).
Примечание. Нетрудно видеть, что треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$, а точка пересечения прямых соответствует точке, изогонально сопряжённой $X$.
Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC, X$ - произвольная точка. Окружность с диаметром $XH$ вторично пересекает прямые $AH, BH, CH$ в точках $A_1, B_1, C_1$, а прямые $AX, BX, CX$ в точках $A_2, B_2, C_2$. Доказать, что прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Рассмотрим для определённости случай, когда точки расположены на окружности в порядке $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$. Пусть $XH = d$. Тогда
$A_1B_2 = d \sin \angle A_1HB_2 = d \sin \angle XBC$,
так как $HA_1$ перпендикулярно $BC$, а $HB_2$ перпендикулярно $BX$. Следовательно,
$\frac{A_1B_2 \cdot C_1A_2 \cdot B_1C_2}{A_2B_1 \cdot C_2A_1 \cdot B_2C_1} = \frac{\sin \angle XBC \cdot \sin \angle XCA \cdot \sin \angle XAB}{\sin \angle XAC \cdot \sin \angle XCB \cdot \sin \angle XBA} = 1$,
что равносильно утверждению задачи (рис.).
Примечание. Нетрудно видеть, что треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$, а точка пересечения прямых соответствует точке, изогонально сопряжённой $X$.
